Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AG平分∠BAC交BD于G，DE⊥AG于点H．下列结论：①AD＝2AE：②FD＝AG；③CF＝CD：④四边形FGEA是菱形；⑤OF＝BE，正确的有（ ）

A.2个B.3个C.4个D.5个

Answer 1

【答案】C

【解析】

①根据正方形的性质和角平分线的定义得：∠BAG＝∠CAG＝22.5°，由垂直的定义计算∠AED＝90°﹣22.5°＝67.5°，∠EDA＝∠EDG＝22.5°，得ED是AG的垂直平分线，则AE＝EG，△BEG是等腰直角三角形，则AD＝AB＞2AE，可作判断；②证明△DAF≌△ABG（ASA），可作判断；③分别计算∠CDF＝∠CFD＝67.5°，可作判断；④根据对角线互相平分且垂直的四边形是菱形可作判断；⑤设BG＝x，则AF＝AE＝x，表示OF和BE的长，可作判断．

解：①∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD＝90°，∠BAC＝45°，

∵AG平分∠BAC，

∴∠BAG＝∠CAG＝22.5°，

∵AG⊥ED，

∴∠AHE＝∠EHG＝90°，

∴∠AED＝90°﹣22.5°＝67.5°，

∴∠ADE＝22.5°，

∵∠ADB＝45°，

∴∠EDG＝22.5°＝∠ADE，

∵∠AHD＝∠GHD＝90°，

∴∠DAG＝∠DGA，

∴AD＝DG，AH＝GH，

∴ED是AG的垂直平分线，

∴AE＝EG，

∴∠EAG＝∠AGE＝22.5°，

∴∠BEG＝45°＝∠ABG，

∴∠BGE＝90°，

∴AE＝EG＜BE，

∴AD＝AB＞2AE，

故①不正确；

②∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝AB，∠DAF＝∠ABG＝45°，

∵∠ADF＝∠BAG＝22.5°，

∴△DAF≌△ABG（ASA），

∴DF＝AG，

故②正确；

③∵∠CDF＝45°+22.5°＝67.5°，∠CFD＝∠AFE＝90°﹣22.5°＝67.5°，

∴∠CDF＝∠CFD，

∴CF＝CD，

故③正确；

④∵∠EAH＝∠FAH，∠AHE＝∠AHF，

∴∠AEF＝∠AFE，

∴AE＝AF，

∴EH＝FH，

∵AH＝GH，AG⊥EF，

∴四边形FGEA是菱形；

故④正确；

⑤设BG＝x，则AF＝AE＝x，

由①知△BEG是等腰直角三角形，

∴BE＝x，

∴AB＝AE+BE＝x+x＝（+1）x，

∴AO＝＝，

∴OF＝AO﹣AF＝﹣x＝x，

∴＝＝，

∴OF＝BE；

故⑤正确；

本题正确的结论有：②③④⑤；

故选：C．