Question

1．我们把a、b两个数中较小的数记作min{a，b}，直线y=kx-k-2（k＜0）与函数y=min{x²-1、-x+1}的图象有且只有2个交点，则k的取值为2-2$\sqrt{2}$或-$\frac{5}{3}$或-1．

Answer 1

分析 结合x的范围画出函数y=min{x²-1、-x+1}图象，由直线y=kx-k-2（k＜0）与该函数图象只有两个交点且k＜0，判断直线的位置得①直线y=kx-k-2经过点（-2，3）时可以求出k；②直线y=kx-k-2与函数y=x²-1相切时，可以求出k．

解答 解：根据题意，x²-1＜-x+1，即x²+x-2＜0，
解得：-2＜x＜1，
故当-2＜x＜1时，y=x²-1；
当x≤-2或x≥1时，y=-x+1；
函数图象如下：

由图象可知，∵直线y=kx-k-2（k＜0）与函数y=min{x²-1、-x+1}的图象有且只有2个交点，且k＜0，
①直线y=kx-k-2经过点（-2，3）时，3=-2k-k-2，k=-$\frac{5}{3}$，此时直线y=-$\frac{5}{3}$x-$\frac{1}{3}$，与函数y=min{x²-1、-x+1}的图象有且只有2个交点．
②直线y=kx-k-2与函数y=x²-1相切时，由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-1}\\{y=kx-k-2}\end{array}\right.$消去y得x²-kx+k+1=0，∵△=0，k＜0，
∴k²-4k-4=0，
∴k=2-2$\sqrt{2}$（或2+2$\sqrt{2}$舍弃），此时直线y=（2-2$\sqrt{2}$）x-4+2$\sqrt{2}$与函数y=min{x²-1、-x+1}的图象有且只有2个交点．
③直线y=kx-k-2和直线y=-x+1平行，k=-1，直线为y=-x-1与函数y=min{x²-1、-x+1}的图象有且只有2个交点．
综上，k=2-2$\sqrt{2}$或-$\frac{5}{3}$或-1．
故答案为：2-2$\sqrt{2}$或-$\frac{5}{3}$或-1．

点评 本题主要考查二次函数与一元一次不等式间的关系，根据题意判断直线的位置是关键，学会用转化的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题．