Question

10．如图所示，在?ABCD中，2AB=AD，AB=AE=BF，求证：EC⊥DF．

Answer 1

分析 连接MN，根据EA=AB=BF，AD∥BC，可得AM为△EBC的中位线，BN为△FAD的中位线，可得AM=$\frac{1}{2}$BC=NC，BN=$\frac{1}{2}$AD=MD，然后根据AD=2AB，可得MD=AB=DC，可证明四边形MNCD为菱形，继而可得MC⊥ND，即CE⊥FD．

解答 证明：连接MN，如图所示：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∵EA=AB=BF，
∴AM为△EBC的中位线，BN为△FAD的中位线，
即AM=$\frac{1}{2}$BC=NC，BN=$\frac{1}{2}$AD=MD，
∵AD=2AB，AD=BC，
∴MD=AB=DC，
∵AD∥BC，
∴四边形MNCD为菱形，
∴MC⊥ND，即CE⊥FD．

点评 本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质；解答本题的关键是根据题目所给的条件，判定AM和BN为三角形的中位线，继而得出四边形MNCD为菱形．