Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+1分别交坐标轴于A，B两点，以OA，OB为边作矩形OBCA，点E是线段OB上的一个动点（点E与端点B，O不重合），设OE=t，以AE为边作矩形AEFG，使点G落BC在的延长线上．
（1）用含有t的代数式表示点F的坐标；
（2）连接BF，设∠ABF=θ，随着点E在线段OB上的运动，θ的大小是否保持不变？请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵四边形OBCA和四边形AEFG是矩形，
∴∠OAC=∠EAG=90°，
∴∠OAE+∠EAC=∠CAG+∠EAC，
∴∠OAE=∠CAG，
∴△AOE∽△ACG，
∴CG=2t，
作FH⊥x轴于H，
由已知可得∠EAG=∠OAC=∠AEF=90°，
即∠FEH=∠OAE=∠CAG，
∵G在射线BC上，
∴∠ACG=∠EHF=90°，又EF=AG，∠FEH=∠CAG，
∴△EHF≌△ACG，
∴EH=AC=2，FH=CG=2t，
∴F（2+t，2t）；

（2）点E在线段OB上的运动过程中，θ的大小总保持不变，
理由是：由题设可知A（0，1），B（2，0），即OA=1，OB=2，BH=t，
又∵∠AOB=∠FHB=90°，=，=，
∴△AOB∽△BHF，
∴∠ABH=∠BFH，
∴θ=90°，
即θ的大小保持不变．
分析：（1）由四边形OBCA和四边形AEFG是矩形以及结合角之间的等量关系，证明△AOE∽△ACG，作FH⊥x轴于H，由已知可得∠EAG=∠OAC=∠AEF=90°，进而证明△EHF≌△ACG，于是求出EH和FH，点F的坐标；
（2）由题设可知A（0，1），B（2，0），即OA=1，OB=2，BH=t，证明出△AOB∽△BHF，进一步证明出θ=90°，是定值．
点评：本题主要考查一次函数的综合题，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质定理，第二问的证明有一定的难度，总的来说此题是一道非常不错的习题．