Question

【题目】阅读下面的例题及点拨，并解决问题：

例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN．求证：∠AMN=60°．

点拨：如图②，作∠CBE=60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM=EM，∠1=∠2；又AM=MN，则EM=MN，可得∠3=∠4；由∠3+∠1=∠4+∠5=60°，进一步可得∠1=∠2=∠5，又因为∠2+∠6=120°，所以∠5+∠6=120°，即：∠AMN=60°．

问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1=M1N1．求证：∠A1M1N1=90°．

Answer 1

【答案】见解析；

【解析】

延长A1B1至E，使EB1＝A1B1，连接EM1C、EC1，则EB1＝B1C1，∠EB1M1＝90°＝∠A1B1M1，得出△EB1C1是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出∠B1EC1＝∠B1C1E＝45°，证出∠B1C1E＋∠M1C1N1＝180°，得出E、C1、N1，三点共线，由SAS证明△A1B1M1≌△EB1M1得出A1M1＝EM1，∠1＝∠2，得出EM1＝M1N1，由等腰三角形的性质得出∠3＝∠4，证出∠1＝∠2＝∠5，得出∠5＋∠6＝90°，即可得出结论．

解：延长A1B1至E，使EB1=A1B1，连接EM1、EC1，

如图所示：

则EB1=B1C1，∠EB1M1=90°=∠A1B1M1，

∴△EB1C1是等腰直角三角形，

∴∠B1EC1=∠B1C1E=45°，

∵N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，

∴∠M1C1N1=90°+45°=135°，

∴∠B1C1E+∠M1C1N1=180°，

∴E、C1、N1三点共线，

在△A1B1M1和△EB1M1中，，

∴△A1B1M1≌△EB1M1（SAS），

∴A1M1=EM1，∠1=∠2，

∵A1M1=M1N1，

∴EM1=M1N1，

∴∠3=∠4，

∵∠2+∠3=45°，∠4+∠5=45°，

∴∠1=∠2=∠5，

∵∠1+∠6=90°，

∴∠5+∠6=90°，

∴∠A1M1N1=180°﹣90°=90°．