Question

【题目】如图所示， △ABC是直角三角形，∠A=90°，D是斜边BC的中点，E，F分别是AB，AC边上的动点,且DE⊥DF．

(1)如图(1)，连接AD，若AB=AC=17，CF=5，求线段EF的长．

(2)如图(2)，若AB≠AC，写出线段EF与线段BE，CF之间的等量关系，并写出证明过程．

Answer 1

【答案】（1）13；（2）EF2=BE2+CF2，证明过程见解析

【解析】

（1）由△ABC是等腰直角三角形，AD是斜边的中线，可得：∠DAC=∠BAD=∠C=45°，AD＝DC，AD⊥BC，又DE⊥DF，根据同角的余角相等可得∠EDA＝∠CDF，从而可证：△AED≌△CFD，所以可得AE＝CF，然后由勾股定理可得出答案；

（2）延长ED到P，使DP＝DE，连接FP，CP，利用SAS得到△BED≌△CPD，利用全等三角形的性质得到BE＝CP，∠B=∠DCP，然后根据三线合一的性质得到EF=FP，然后求出∠FCP为直角，在直角三角形FCP中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可得证．

（1）∵在Rt△ABC中，AB=AC，AD为BC边的中线，

∴∠DAC=∠BAD=∠C=45°，AD⊥BC，AD=DC，

又∵DE⊥DF，AD⊥DC，

∴∠EDA+∠ADF=∠CDF+∠FDA=90°，

∴∠EDA=∠CDF，

在△AED与△CFD中，，

∴△AED≌△CFD（ASA），

∴AE=CF，

∵AB=AC=17，CF=5，

∴AE=CF=5，AF=17-5=12，

在Rt△EAF中，由勾股定理得：；

（2）EF2=BE2+CF2；

如图，延长ED到P，使DP=DE，连接FP，CP，

在△BED和△CPD中，，

∴△BED≌△CPD（SAS），

∴BE=CP，∠B=∠DCP，

∵DE⊥DF，DP=DE

∴EF=FP，

∵∠B=∠DCP，∠A=90°，

∴∠B+∠ACB=90°，

∴∠ACB+∠DCP=90°，即∠FCP=90°，

在Rt△FCP中，根据勾股定理得：CF2+CP2=PF2，

∵BE=CP，PF=EF，

∴EF2=BE2+CF2．