Question

【题目】如图1，平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣4ax+c与直线y=kx+1（k≠0）交于y轴上一点A和第一象限内一点B，该抛物线顶点H的纵坐标为5．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接AH、BH，抛物线的对称轴与直线y=kx+1（k≠0）交于点K，若S△AHB=，求k的值；

（3）在（2）的条件下，点P是直线AB上方的抛物线上的一动点（如图2），连接PA．当∠PAB=45°时，

ⅰ）求点P的坐标；

ⅱ）已知点M在抛物线上，点N在x轴上，当四边形PBMN为平行四边形时，请求出点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣（x﹣2）2+5；（2）k=；（3）ⅰ）P（1，4），ⅱ）M（﹣，﹣）

【解析】

（1）抛物线与直线交于y轴上一点A，可求c=1，根据顶点纵坐标为5，可求，即可求抛物线解析式．

（2）由 将线段的长代入可求k的值

（3）ⅰ）如图：将AB绕B点顺时针旋转90°到BC位置，过B点作BD⊥x轴，过点C点作CD⊥BD于D，过A点作AE⊥BD于E，可证△ABE≌△BCD，可得C点坐标，即可求AC解析式，由点P是直线AC与抛物线的交点可求P点坐标．

ⅱ）四边形PBMN为平行四边形，可得 根据中点坐标公式可求M的横坐标，代入抛物线可求M的坐标．

（1）∵抛物线 与直线交于y轴上一点A

∴ 即c=1

∵抛物线

∴顶点坐标为，

∴

∴

∴抛物线解析式

（2）∵抛物线与直线相交

∴

∴

∴B点横坐标为

∵点B在第一象限

∴即

∵

∴

解得：（不合题意舍去）

（3）ⅰ）如图：将AB绕B点顺时针旋转90°到BC位置，过B点作BD⊥x轴，过点C点作CD⊥BD于D，过A点作AE⊥BD于E

∵

∴

∵

∴

∵旋转

∴

∴

且

∴且

∴≌

∴

∴

设AC解析式

∴=b+1

∴b=3

∴AC解析式

∵P是直线AC与抛物线的交点

∴

∴

∴

ⅱ）如图2：设PN与BM的交点为H

∵四边形PBMN为平行四边形

∴

∵P的横坐标为1，N的横坐标为2．

∴H的横坐标为

∵B的横坐标为

∴M的横坐标为

∴

∴