Question

【题目】如图所示，CD为⊙O的直径，AD，AB，EC分别与⊙O相切于点D，E，C（AD＜BC），连接DE并延长与与直线BC相交于点P，连接OB．

（1）求证：BC=BP；

（2）若DEOB=40，求ADBC的值；

（3）在（2）条件下，若S△ADE：S△PBE=16：25，求S△ADE和S△PBE．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）20；（3）.

【解析】

（1）连接EC，根据切线长定理可得BC=BE，再证得BE=BP，即可证得结论；（2）如图2中，连接OA、CE，EC交OB于K．先证明△OCK∽△OBC，可得OC2=OKOB=DEOB=20，再证明△ADO∽△OCB，可得ADBC=ODOC=OC=20；（3）由△ADE∽△BPE，可得，设DE=4k，PE=5k，由△CDE∽△PDC，可得CD2=DEDP，即80=36k2，推出k=，求出△PEC的面积即可解决问题.

（1）证明：如图1中，连接EC．

∵BC、BE是⊙O的切线，

∴BC=BE，

∴∠BCE=∠BEC，

∵CD是直径，

∴∠CED=∠CEB=90°，

∴∠ECB+∠P=90°，∠CEB+∠CEB+∠PEB=90°，

∴∠P=∠PEB，

∴BE=PB，

∴BC=BP．

（2）解：如图2中，连接OA、CE，EC交OB于K．

∵BC=BE，OC=OE，

∴OB垂直平分线段EC，

∴∠OKC=∠OCB=90°，CK=EK，

∵OC=OD，

∴OK=DE，

∵△OCK∽△OBC，

∴OC2=OKOB=DEOB=20，

∵AD、AE是切线，

∴AD=AE，∵OD=OE，OA=OA，

∴△AOD≌△AOE，

∴∠AOD=∠AOE，同法证明，∠BOE=∠BOC，

∴∠AOB=90°，

∵∠AOD+∠BOC=90°，∠BOC+∠CBO=90°，

∴∠AOD=∠CBO，

∵∠ADO=∠BCO=90°，

∴△ADO∽△OCB，

∴ADBC=ODOC=OC2=20．

（3）如图2中，∵S△ADE：S△PBE=16：25，AD∥PB，

∴△ADE∽△BPE，

∴=，设DE=4k，PE=5k，

∵△CDE∽△PDC，

∴CD2=DEDP，

∴80=36k2，

∴k=，

∴DE=，PE=，EC=，

∴S△ECP=ECPE=，∵BC=BP，

∴S△PEB=S△PEC=，

∴S△ADE=S△PEB=．