Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形ABCD的两个顶点B、C的坐标分别是B（1，0）、C（3，0）．直线AC与y轴交于点G（0，6）．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点 Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．
（1）求直线AC的解析式；
（2）当t为何值时，△CQE的面积最大？最大值为多少？
（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使得以C、Q、E、H为顶点的四边形是菱形？

Answer 1

解：（1）设直线AC的解析式为y=kx+b．
∵直线AC经过G（0，6）、C（3，0）两点，
∴
解这个方程组，得
∴直线AC的解析式为y=-2x+6．
（2）当x=1时，y=4．
∴A（1，4）．
∵AP=CQ=t，
∴点P（1，4-t）．
将y=4-t代入y=-2x+6中，得点E的横坐标为x=．
∴点E到CD的距离为．
∴S_△CQE===．
∴当t=2时，S_△CQE最大，最大值为1．
（3）过点E作FM∥DC，交AD于F，交BC于M．
当点H在点E的下方时，连结CH．
∵EM=4-t，
∴HM=4-2t．
∵，
∴．
∵四边形CQEH为菱形，
∴CH=CQ=t．
在Rt△HMC中，由勾股定理得CH²=HM²+CM²．
∴．
整理得 13t²-72t+80=0．
解得 ，t₂=4（舍）．
∴当时，以C，Q，E，H为顶点的四边形是菱形．
当点H在点E的上方时，同理可得当时．以C，Q，E，H为顶点的四边形是菱形．
∴t的值是或．
分析：（1）设直线AC的解析式为y=kx+b，将G（0，6）、C（3，0）两点代入，即可求出k、b的值，从而得到一次函数解析式．
（2）将△CQE的底和高用含x的代数式表示出来，列出关于x的二次函数解析式，求最值即可．
（3）求出CM的关于t的表达式，根据四边形CQEH为菱形求得H=CQ=t，再利用勾股定理求出t的值即可．
点评：本题考查了一次函数综合题，包括待定系数法求一次函数解析式、二次函数最值、菱形的性质，难度较大．