Question

12．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A（0，8），C（6，0）．动点P从点B出发，以每秒1个单位长的速度沿射线BC方向匀速运动，设运动时间为t秒．
（1）当t=16s时，以OB、OP为邻边的平行四边形是菱形；
（2）当点P在OB的垂直平分线上时，求t的值；
（3）将△OBP沿直线OP翻折，使点B的对应点D恰好落在x轴上，求t的值．

Answer 1

分析 （1）先有菱形的性质得出PC=BC=8，进而得出BP=16即可得出结论；
（2）由线段的垂直平分线的性质得出PO=PB=t，再利用勾股定理即可求出结论；
（3）分点P在x轴坐标轴和负半轴上，利用勾股定理即可建立方程求解．

解答 解：（1）如图1，
∵A（0，8），
∴OA=8，C（6，0），
∴OC=6，
∵四边形OABC是矩形，
∴BC=OA=8，
∵以OB、OP为邻边的平行四边形是菱形，
∴CP=BC=OA=8，
∴BP=BC+CP=16，
t=16÷1=16s，
故答案为16；

（2）如图2，∵点P是OB的垂直平分线上，
∴PO=PB=t，
∴PC=BC-PB=8-t，
在Rt△POC中，OC=6，
根据勾股定理得，OC²+PC²=OP²，
∴6²+（8-t）²=t²，
∴t=$\frac{25}{4}$，


（3）当点P在x轴的坐标轴上时，如图3，
由折叠知，△OBP≌△ODP，
∴PD=PB=t，OD=OB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴CD=OD-OC=4，
在Rt△PCD中，CD=4，PC=BC-PB=8-t，PD=t，
根据勾股定理得，PC²+CD²=PD²，
∴4²+（8-t）²=t²，
∴t=5，
当点P在x轴负半轴上时，如图4，
由折叠知，PB=PD=t，OD=OB=10，
∴CD=OD+OC=16，PC=t-8，
在Rt△PCD中，根据勾股定理得，PC²+CD²=PD²，
∴（t-8）²+16²=t²，
∴t=20，
即：满足条件的t的值为5s或20s．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了矩形的性质，菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，垂直平分线定理，解（1）的关键是求出BP=2BC=16，解（2）的关键是利用线段的垂直平分线得出OP=PB，解（3）的关键是利用勾股定理建立方程求解，是一道常规题．