Question

【题目】定义：圆心在三角形的一边上，与另一边相切，且经过三角形一个顶点（非切点）的圆，称为这个三角形圆心所在边上的“伴随圆”．

（1）如图1，△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则AC边上的伴随圆的半径为 ．
（2）如图2，已知等腰△ABC，AB=AC=5，BC=6，画草图并直接写出它的所有伴随圆的半径．
（3）如图3，△ABC中，∠ACB=90°，点P在边AB上，AP=2BP，D为AC中点，且∠CPD=90°．
①求证：△CPD的外接圆是△ABC某一条边上的伴随圆；
②求cos∠PDC的值．

Answer 1

【答案】
（1）2
（2）解：当O在BC上时，如图（1）所示：连接OD，过点A作AE⊥BC．

∵AB=AC，AE⊥BC，

∴BE=EC=3．

在△AEB中，由勾股定理可知AE= =4．

∵AB与⊙O相切，

∴OD⊥AB．

∴∠BDO=∠BEA=90°．

又∵∠OBD=∠EBA，

∴△ODB∽△AEB．

∴ ．

设⊙O的半径为r．在OB=6﹣r．

∴ ．

∴r= ．

∴△ABC的BC边上的伴随圆的半径为 ．

当O在AB上时，如图（2），连接OD、过点A作AE⊥BC，垂足为E．

∵BC与⊙O相切，∴OD⊥BC．又∵AE⊥BC，

∴OD∥AE．∴△BOD∽△BAE．

∴ ．

设⊙O的半径为r，则OB=5﹣r．∴ ．∴r= ．

如图（3）所示：连接OD、过点B作BF⊥AC，过点A作AE⊥BC，垂足为E．

∵S△ABC= BCAE= ACBF，∴ ×6×4= ×5×BF．∴BF=4.8．

∵AC与⊙O相切，∴DO⊥AC．∴DO∥BF．

∴△AOD∽△ABF．∴ 即 ．∴r= ．

综上所述，△ABC的伴随圆的半径分为 或 或

（3）解：①证明：如图（4）连接OP、OB．

∵△CPD为直角三角形，

∴△CPD的外接圆圆心O在CD中点．

设⊙O的半径为r，则DC=2r，OA=3r．∴ ．∵PA=2BP，

∴ ．∴ ．∴PD∥OB．∴∠1=∠2，∠3=∠4．

又∵∠3=∠2，∴∠1=∠4．在△BCO和△BPO中 ，∴△BCO≌△BPO．

∴∠BPO=∠BCO=90°．∴AB是圆O的切线．

∴△CPD的外接圆是△ABC某一条边上的伴随圆．

②如图（4）设圆O的半径为r．

∵在Rt△OAP中，OA=3r，OP=r，

∴PA= =2 r．

∴AB=3 r．

∵在Rt△ABC中，AC=4r，AB=3 r，

∴BC= = a．

∵在Rt△OBC中，OC=r，BC= r，

∴OB= = r．

∴cos∠1= = = ．

∵∠PDC=∠1，

∴cos∠PDC=

【解析】（1）∵∠C=90°，AB=5，BC=3，

∴AC= =4．

∵BC是圆的切线，∠BCA=90°，

∴AC为圆的直径．

∴AC边上的半随圆的半径为2．

所以答案是：2．

【考点精析】解答此题的关键在于理解切线的性质定理的相关知识，掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径，以及对切线的判定定理的理解，了解切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．