Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，二次函数y=x2+c的图象抛物线交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3）．

（1）求∠ABC的度数；
（2）若点D是第四象限内抛物线上一点，△ADC的面积为 ，求点D的坐标；
（3）若将△OBC绕平面内某一点顺时针旋转60°得到△O′B′C′，点O′，B′均落在此抛物线上，求此时O′的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意与y轴交于点C（0，﹣3），

∴得解析式为y=x2﹣3，

令y=0，x=± ，

∴B（ ，0），A（﹣ ，0），

∴OA= ，OC=3，AC=2 ，

∴∠OCA=30°，

∴∠ABC=60°；

（2）解：由（1）得：OA= ，OC=3，

∴S△OAC= ×3× = ，

过原点与AC平行的直线y=﹣ ，

直线与抛物线的交点即为点D，

联立： ，

解得x1= ，x2= （舍去），

∴D （ ， ）．

（3）解：设点O′（m，m2﹣3），

∵顺时针旋转60°，

则点B′（m+ ，m2﹣ ），

∴（m+ ）﹣3=m2﹣ ，

∴m=﹣ ，

∴O′（﹣ ，﹣ ）．

【解析】（1）通过待定系数法求出函数解析式，可以求出相应的线段的长度，观察AC=2OA，进而求出∠ABC的度数
（2）通过观察S△ADC=S△OAC，可以判断直线OD∥AC，求出直线与抛物线的交点即为D
（3）利用点O'B'都在抛物线上，设出点O'的坐标，通过旋转得B’的坐标，将B’带入抛物线解析式即可求出。
【考点精析】认真审题，首先需要了解二次函数的图象(二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点)，还要掌握二次函数的性质(增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小)的相关知识才是答题的关键．