【题目】如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,二次函数y=x2+c的图象抛物线交x轴于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C(0,﹣3).
(1)求∠ABC的度数;
(2)若点D是第四象限内抛物线上一点,△ADC的面积为 ,求点D的坐标;
(3)若将△OBC绕平面内某一点顺时针旋转60°得到△O′B′C′,点O′,B′均落在此抛物线上,求此时O′的坐标.
【答案】
(1)解:由题意与y轴交于点C(0,﹣3),
∴得解析式为y=x2﹣3,
令y=0,x=± ,
∴B( ,0),A(﹣
,0),
∴OA= ,OC=3,AC=2
,
∴∠OCA=30°,
∴∠ABC=60°;
(2)解:由(1)得:OA= ,OC=3,
∴S△OAC= ×3×
=
,
过原点与AC平行的直线y=﹣ ,
直线与抛物线的交点即为点D,
联立: ,
解得x1= ,x2=
(舍去),
∴D ( ,
).
(3)解:设点O′(m,m2﹣3),
∵顺时针旋转60°,
则点B′(m+ ,m2﹣
),
∴(m+ )﹣3=m2﹣
,
∴m=﹣ ,
∴O′(﹣ ,﹣
).
【解析】(1)通过待定系数法求出函数解析式,可以求出相应的线段的长度,观察AC=2OA,进而求出∠ABC的度数
(2)通过观察S△ADC=S△OAC,可以判断直线OD∥AC,求出直线与抛物线的交点即为D
(3)利用点O'B'都在抛物线上,设出点O'的坐标,通过旋转得B’的坐标,将B’带入抛物线解析式即可求出。
【考点精析】认真审题,首先需要了解二次函数的图象(二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点),还要掌握二次函数的性质(增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小)的相关知识才是答题的关键.
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【题目】周末,小明坐公交车到滨海公园游玩,他从家出发0.8小时后达到中心书城,逗留一段时间后继续坐公交车到滨海公园,小明离家一段时间后,爸爸驾车沿相同的路线前往海滨公园. 如图是他们离家路程s(km)与小明离家时间t(h)的关系图,请根据图回答下列问题:
(1)图中自变量是____,因变量是______;
(2)小明家到滨海公园的路程为____ km,小明在中心书城逗留的时间为____ h;
(3)小明出发______小时后爸爸驾车出发;
(4)图中A点表示___________________________________;
(5)小明从中心书城到滨海公园的平均速度为______km/h,小明爸爸驾车的平均速度为______km/h;(补充;爸爸驾车经过______追上小明);
(6)小明从家到中心书城时,他离家路程s与坐车时间t之间的关系式为________.
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【题目】已知数轴上的A、B、C、D四点所表示的数分别是a、b、c、d,且(a+16)2+(d+12)2=﹣|b﹣8|﹣|c﹣10|.
(1)求a、b、c、d的值;
(2)点A,B沿数轴同时出发相向匀速运动,4秒后两点相遇,点B的速度为每秒2个单位长度,求点A的运动速度;
(3)A,B两点以(2)中的速度从起始位置同时出发,向数轴正方向运动,与此同时,C点以每秒1个单位长度的速度向数轴正方向开始运动,若t秒时有2AB=CD,求t的值;
(4)A,B两点以(2)中的速度从起始位置同时出发,相向而行当A点运动到C点时,迅速以原来速度的2倍返回,到达出发点后,保持改变后的速度又折返向C点运动;当B点运动到A点的起始位置后停止运动.当B点停止运动时,A点也停止运动.求在此过程中,A,B两点同时到达的点在数轴上对应的数.
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【题目】某公司销售一种进价为20 (元/个)的计算器,其销售量y (万个)与销售价格x (元/个)之间为一次函数关系,其变化如下表:
价格x (元/个) | … | 30 | 50 | … |
销售量y (万个) | … | 5 | 3 | … |
同时,销售过程中的其他开支(不含进价)总计40万元.若该公司要获得40万元的净利润,且尽可能让顾客得到实惠,那么销售价格应定为多少?
(注:净利润=总销售额﹣总进价﹣其他开支)
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【题目】
(本小题满分8分)某学校组织八年级学生参加社会实践活动,若单独租用35座客车若干辆,则刚好坐满;若单独租用55座客车,则可以少租一辆,且余45个空座位.
(1)求该校八年级学生参加社会实践活动的人数;
(2)已知35座客车的租金为每辆320元,55座客车的租金为每辆400元.根据租车资金不超过1500元的预算,学校决定同时租用这两种客车共4辆(可以坐不满).请你计算本次社会实践活动所需车辆的租金.
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【题目】如图①,A、B、C三地依次在一直线上,两辆汽车甲、乙分别从A、B两地同时出发驶向C地,如图②,是两辆汽车行驶过程中到C地的距离s(km)与行驶时间t(h)的关系图象,其中折线段EF﹣FG是甲车的图象,线段OM是乙车的图象.
(1)图②中,a的值为 ;点M的坐标为 ;
(2)当甲车在乙车与B地的中点位置时,求行驶的时间t的值.
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【题目】如图所示,将两块三角板的直角顶点重合.
(1)写出以C为顶点的相等的角;
(2)若∠ACB=150°,请直接写出∠DCE的度数;
(3)写出∠ACB与∠DCE之间所具有的数量关系;
(4)当三角板ACD绕点C旋转时,你所写出的(3)中的关系是否变化?请说明理由.
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【题目】阅读下面的文字,解答问题.
大家知道是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此
的小数部分我们不可能全部地写出来,于是小明用
来表示
的小数部分,你同意小明的表示方法吗?
事实上,小明的表示方法是有道理,因为的整数部分是1,将这个数减去其整数部分,差就是小数部分.
请解答:(1)若的整数部分为
,小数部分为
,求
的值.
(2)已知:,其中
是整数,且
,求
的值.
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