如图.已知在平面直角坐标系xOy中.O是坐标原点.抛物线y=-x2+bx+c的顶点为D.与y轴的交点为C.过点C作CA∥x轴交抛物线于点A.在AC延长线上取点B.使BC=12AC.连接OA.OB.BD和AD．．①求b.c的值,②试判断四边形AOBD的形状.并说明理由,(2)是否存在这样的点A.使得四边形AOBD是矩形?若存在.请直接写出一个符合条件的点A的坐标,若不存在.请说明� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=-x²+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C，过点C作CA∥x轴交抛物线于点A，在AC延长线上取点B，使BC=

AC，连接OA，OB，BD和AD．
（1）若点A的坐标是（-4，4）．
①求b，c的值；
②试判断四边形AOBD的形状，并说明理由；
（2）是否存在这样的点A，使得四边形AOBD是矩形？若存在，请直接写出一个符合条件的点A的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题

专题：几何综合题,压轴题

分析：（1）①将抛物线上的点的坐标代入抛物线即可求出b、c的值；
②求证AD=BO和AD∥BO即可判定四边形为平行四边形；
（2）根据矩形的各角为90°可以求得△ABO∽△OBC即

，再根据勾股定理可得OC=

BC，AC=

OC，可求得横坐标为±

c，纵坐标为c．

解答：解：（1）①∵AC∥x轴，A点坐标为（-4，4）．
∴点C的坐标是（0，4）
把A、C两点的坐标代入y=-x²+bx+c得，

4=-16-4b+c

4=c

，
解得

b=-4

c=4

；
②四边形AOBD是平行四边形；
理由如下：
由①得抛物线的解析式为y=-x²-4x+4，

∴顶点D的坐标为（-2，8），
过D点作DE⊥AB于点E，
则DE=OC=4，AE=2，
∵AC=4，
∴BC=

AC=2，
∴AE=BC．
∵AC∥x轴，
∴∠AED=∠BCO=90°，
∴△AED≌△BCO，
∴AD=BO．∠DAE=∠OBC，
∴AD∥BO，
∴四边形AOBD是平行四边形．

（2）存在，点A的坐标可以是（-2

，2）或（2

，2）
要使四边形AOBD是矩形；
则需∠AOB=∠BCO=90°，
∵∠ABO=∠OBC，
∴△ABO∽△OBC，
∴

，
又∵AB=AC+BC=3BC，
∴OB=

BC，
∴在Rt△OBC中，根据勾股定理可得：OC=

BC，AC=

OC，
∵C点是抛物线与y轴交点，
∴OC=c，
∴A点坐标为（-

c，c），
∴顶点横坐标

c，b=

c，
∵将A点代入可得c=-（-

c）²+

c•

c+c，
∴横坐标为±

c，纵坐标为c即可，
令c=2，
∴A点坐标可以为（2

，2）或者（-2

，2）．

点评：本题主要考查了二次函数对称轴顶点坐标的公式，以及函数与坐标轴交点坐标的求解方法．

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