如图.在Rt△ABC中.∠C=90°.AC=BC=4.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动.同时.点Q从点C出发沿CB-BA运动.点Q在CB上的速度为每秒2个单位长度.在BA上的速度为每秒$\sqrt{2}$个单位长度.当点P到达A点时.点Q随之停止运动.以CP.CQ为邻边作?CPMQ．设?CPMQ与△ABC重叠部分图形的面积为y.点P的运动时� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

7．

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°、AC=BC=4，点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时，点Q从点C出发沿CB-BA运动，点Q在CB上的速度为每秒2个单位长度，在BA上的速度为每秒$\sqrt{2}$个单位长度，当点P到达A点时，点Q随之停止运动，以CP、CQ为邻边作?CPMQ．设?CPMQ与△ABC重叠部分图形的面积为y，点P的运动时间为x秒．
（1）当点M落在AB上时，求x的值．
（2）当点Q在边CB上运动时，求y与x的函数关系式
（3）直接写出在P、Q两点整个运动过程中，当?CPMQ与△ABC重叠部分图形不是四边形时，x的取值范围．

分析（1）只要证明四边形CPMQ是矩形，△MQB是等腰直角三角形，列出方程即可解决问题．
（2）分两种情形讨论即可①如图2中，①当0＜t≤$\frac{4}{3}$时，重叠部分是四边形CPMQ．②②如图3中，$\frac{4}{3}$＜t≤2时，重叠部分是五边形CPEFQ．分别计算即可．
（3）根据图4与图5，结合（2）中图形，即可判断．

解答解：（1）如图1中，

∵∠C=90°、AC=BC=4，四边形CPMQ是平行四边形，
∴四边形CPMQ是矩形，∠A=∠B=45°，
∴AB∥MQ，
∴∠MQB=∠C=90°，
∴∠QMB=∠B=45°，
∴PC=MQ=BQ，
∴2t+t=4，
∴t=$\frac{4}{3}$．

（2）如图2中，①当0＜t≤$\frac{4}{3}$时，重叠部分是四边形CPMQ．

y=t•2t=2t²，
②如图3中，$\frac{4}{3}$＜t≤2时，重叠部分是五边形CPEFQ．

y=S_{四边形CPMQ}-S_△EFM=2t²-$\frac{1}{2}$（3t-4）²=-$\frac{5}{2}$t²+12t-8，
综上所述y=$\left\{\begin{array}{l}{2{t}^{2}}&{（0＜t≤\frac{4}{3}）}\\{-\frac{5}{2}{t}^{2}+12t-8}&{（\frac{4}{3}＜t≤2）}\end{array}\right.$．

（3）如图4中，当Q与B重合时，重叠部分是四边形，

如图5中，当点P与A重合时，重叠部分是三角形．

∴在P、Q两点整个运动过程中，当?CPMQ与△ABC重叠部分图形不是四边形时，x的取值范围为$\frac{4}{3}$＜t＜2或t=4．

点评本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，需要正确画出图形，属于中考常考题型．

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