Question

【题目】如图，抛物线L：y=﹣（x﹣2）2+m2+2m与x轴交于A，B，直线y=kx﹣1与y轴交于E，与L的对称轴交于点F（n，3），与L交于D，抛物线L的对称轴与L交于P．

(1)求k的值．

(2)点P能否与点F关于x轴的对称点重合？若认为能，请求出m的值；若认为不能，说明理由．

(3)小林研究了抛物线L的解析式后，得到了如下的结论：因为m可以取任意实数，所以点C可以在y轴上任意移动，即C点可以到达y轴的任何位置，你认为他说的有道理吗？说说你的想法．

(4)当抛物线L与直线y=kx﹣1有两个公共点时，直接写出适合条件的m的最大整数．

Answer 1

【答案】(1)k=2；(2)不能，理由见解析；(3)没道理，见解析；(4)适合条件的m的最大整数值是1．

【解析】

（1）首先得出对称轴方程，从而求得F点坐标，代入一次函数解析式，求k值；

（2）由对称点坐标关系可得点F关于x轴的对称点坐标，再与点P坐标比较，即可进行 判断；

（3）把L的解析式化成顶点式，就可以知道函数的最小值是-5，所以点C都不能到达（0，﹣5）以下的位置；

（4）两图像有公共点，即函数值相等，得到一元二次方程，

解：（1）抛物线L的对称轴是x=2，所以n=2，点F（2，3），代入y=kx﹣1中，得3=2k﹣1，

解得k=2；

（2）不能，理由：点P的坐标为（2，m2+2m），点F关于x轴的对称点F'的坐标是（2，﹣3），

若点P与点F'重合，则m2+2m=﹣3，

即：（m+1）2=﹣2．显然不可能；

（3）没道理，

因为，点C的纵坐标为yC=m2+2m﹣4=（m+1）2﹣5

因为yC的最小值为﹣5，所以无论m取何值，点C都不能到达（0，﹣5）以下的位置．

（4）直线y=kx﹣1的解析式为y=2x﹣1

当﹣（x﹣2）2+m2+2m=2x﹣1时，得x2﹣2x﹣（m2+2m﹣3）=0，

△=22﹣4×1×（m2+2m﹣3）=﹣4[（m+1）2﹣5]

当△≥0时，（m+1）2﹣5≤0，所以适合条件的m的最大整数值是1．