Question

【题目】如图1，在△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AC=2．

（1）将△ABC绕点C顺时针旋转120°得△A′B′C．①求点B旋转经过的路径长；②求线段BB′的长；

（2）如图2，过点C作AC的垂线与AB的延长线交于点D，将△ACD绕点C顺时针旋转90°得△A′CD′．在图2中画出线段AD绕点C旋转所形成的图形（用阴影表示），并求出该图形的面积．

Answer 1

【答案】（1）π；；（2）．

【解析】

试题分析：（1）①由旋转的性质可知∠BCB′=120°，然后由扇形的弧长公式即可求得点B旋转经过的路径长；②由特殊锐角三角函数值可求得BB′的长；

（2）首先画出图形，然后根据S1=S2，可求得S1+S4的面积，然后再利用扇形面积-等边三角形ECD′的面积，从而可求得答案．

试题解析：（1）①∵AC=2，∠B=90°，∠A=30°，

∴BC=1．

∴点B旋转的路径=×2π×12=π；

②如下图所示：

在△BCB′中，CB=CB′，∠BCB′=120°，AC⊥BB′

∴sin∠CBE=．

∴BE=．

∴BB′=；

（2）如图所示：

∵S1=S2，

∴S2+S4=S1+S4=π（AC2-BC2）=π(22-12)=π．

在Rt△ABD中，DC=ACtan30°=，

S3=×π×()2-××1=π-，

∴S2+S3+S4=π+π-=．