Question

19．如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则S_△DMN：S_△DEA=1：6．

Answer 1

分析 根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，可以求出DE=$\frac{1}{2}$BC，又点M是DE的中点，可以求出DM：BC的值，也就等于MN：NC的值，从而可以得到MN：MC的比值，也就是点N到DE的距离与点C到DE的距离之比，又DM=ME，所以S_△DMN：S_△CEM=MN：MC．设NF=x，则CG=3x，设DM=y，则ME=y，DE=2y，BC=4y，利用x和y表示出△ADE和△DMN的面积，据此即可求解．

解答 解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，
∵M是DE的中点，
∴DM=ME=$\frac{1}{4}$BC，
∴$\frac{MN}{NC}$=$\frac{DM}{BC}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{MN}{MC}$=$\frac{NF}{CG}$=$\frac{1}{3}$，
即：点N到DE的距离与点C到DE的距离之比为$\frac{1}{3}$，
∵DM=ME，
∴S_△DMN：S_△CEM=1：3．
设NF=x，则CG=3x，设DM=y，则ME=y，DE=2y，BC=4y．
则S_△CEM=$\frac{1}{2}$x×3y=$\frac{3}{2}$xy，S_梯形DECB=$\frac{1}{2}$（2x+4x）•3y=9xy，
∵DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S_△ADE=$\frac{1}{4}$S_△ABC，
∴S_△ADE=$\frac{1}{3}$S_梯形DECB=3xy，
则S_△DMN：S_△DEA=$\frac{1}{2}$xy：3xy=1：6．
故答案是：1：6．

点评 本题考查了三角形的中位线定理，以及平行线分线段成比例定理，求出等边上的高的比是解题的关键．