Question

19．在正方形ABCD中，BD是对角线，点P在射线CD上（与点C、D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于点H，连接AH，PH．
（1）若点P在线段CD上，请按题意补全图；
（2）AH与PH的数量关系是相等； AH与PH的位置关系是垂直；
对以上所填的两个结论均加以证明（若需要的话请另外画图）

Answer 1

分析 （1）先依据要求画出平移后的△BCQ，然后过点Q作QH⊥BD，垂足为H，最后连接AH和PH即可；
（2）先证明AD=PQ，然后再证明△DHQ为等腰直角三角形，从而得到DH=HQ，然后依据SAS可证明△ADH≌△PQH，依据全等三角形的性质可得到问题的答案．

解答 解：（1）依照题意，补充图形，如图1所示．

（2）当点P在线段CD上时（图1所示）．

∵由平移的性质可知：DP=CQ，
∴DC=PQ．
∴AD=PQ．
∵ABCD为正方形，
∴∠HDQ=∠ADH=45°．
又∵QH⊥BD，
∴∠HQD=45°．
∴∠HDQ=∠HQD=45°．
∴DH=HQ，∠ADH=∠PQH．
在△ADH和△PQH中$\left\{\begin{array}{l}{AD=PQ}\\{∠ADH=∠PQH}\\{DH=HQ}\end{array}\right.$，
∴△ADH≌△PQH．
∴AH=QH，∠AHD=∠PHQ．
∵∠DHP+∠PHQ=90°，
∴∠DHP+∠AHD=90°．
∴AH⊥QH．
当点P在CD的延长线上时，如图2所示：

∵由平移的性质可知：DP=CQ，
∴DC=PQ．
∴AD=PQ．
∵ABCD为正方形，
∴∠HDQ=∠ADH=45°．
又∵QH⊥BD，
∴∠HQD=45°．
∴∠HDQ=∠HQD=45°．
∴DH=HQ，∠ADH=∠PQH．
在△ADH和△PQH中$\left\{\begin{array}{l}{AD=PQ}\\{∠ADH=∠PQH}\\{DH=HQ}\end{array}\right.$，
∴△ADH≌△PQH．
∴AH=QH，∠AHD=∠PHQ．
∵∠DHP+∠PHQ=90°，
∴∠DHP+∠AHD=90°．
∴AH⊥QH．
故答案为：相等；垂直．

点评 本题主要考查的是正方形的性质全等三角形的性质和判定、平移的性质，证得△ADH≌△PQH是解题的关键．