Question

如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连结EC．

(1)求证：AD＝EC；

(2)当∠BAC＝Rt∠时，求证：四边形ADCE是菱形；

Answer 1

答案：
解析：

(1)解法1 　　证明：∵DE∥AB，AE∥BC， 　　∴四边形ABDE是平行四边形， 　　∴AE∥BD，且AE＝BD 　　又∵AD是BC边上的中线， 　　∴BD＝CD 　　∴AE∥CD，且AE＝CD 　　∴四边形ADCE是平行四边形 　　∴AD＝CE 　　解法2 　　证明：∵DE∥AB，AE∥BC 　　∴四边形ABDE是平行四边形，∠B＝∠EDC 　　∴AB＝DE 　　又∵AD是BC边上的中线 　　∴BD＝CD 　　∴△ABD≌△EDC(SAS) 　　∴AD＝EC 　　(2)解法1 　　证明：∵∠BAC＝Rt∠，AD上斜边BC上的中线， 　　∴AD＝BD＝CD 　　又∵四边形ADCE是平行四边形 　　∴四边形ADCE是菱形 　　解法2 　　证明：∵DE∥AB，∠BAC＝Rt∠， 　　∴DE⊥AC 　　又∵四边形ADCE是平行四边形 　　∴四边形ADCE是菱形 　　解法3 　　证明：∵∠BAC＝Rt∠，AD是斜边BC上的中线， 　　∴AD＝BD＝CD 　　又∵AD＝EC 　　∴AD＝CD＝CE＝AE 　　∴四边形ADCE是菱形 　　(3)解法1 　　解：∵四边形ADCE是菱形 　　∴AO＝CO，∠ADO＝90°， 　　又∵BD＝CD 　　∴OD是△ABC的中位线，则 　　∵AB＝AO 　　∴ 　　∴在Rt△AOD中， 　　解法2 　　解：∵四边形ADCE是菱形 　　∴AO＝CO＝，AD＝CD，∠AOD＝90°， 　　∵AB＝AO 　　∴AB＝ 　　∴在Rt△ABC中， 　　∵AD＝CD， 　　∴∠DAC＝∠DCA 　　∴