Question

6．如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点（-1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x₁，x₂，其中-2＜x₁＜-1，0＜x₂＜1，下列结论：①abc＞0；②4a-2b+c＞0；③2a-b＞0；④a＞-1；⑤b²+8a＞4ac．其中正确的有（　　）

• A． 2个
• B． 3个
• C． 4个
• D． 5个

Answer 1

分析 ①抛物线开口向下，得：a＜0；抛物线的对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$＜0，可得b＜0；由抛物线交y轴于正半轴，得到c＞0；所以abc＞0；
②由∵-2＜x₁＜-1可知当x=-2时，y＜0，所以4a-2b+c＜0；
③与x轴交点的横坐标分别为x₁，x₂，其中-2＜x₁＜-1，0＜x₂＜1，可得抛物线的对称轴为-1＜x=-$\frac{b}{2a}$＜0，得到2a＞b，求得2a-b＞0；
④根据函数与x轴交点的横坐标分别为x₁、x₂，其中-2＜x₁＜-1，0＜x₂＜1，可以得出两根的近似值，从而代入函数解析式，得出a，b，的值；得出a＜-1；
④由于抛物线的对称轴大于-1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即：$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$＞2，由于a＜0，所以4ac-b²＜8a，即b²+8a＞4ac．

解答 解：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点（-1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x₁、x₂，其中-2＜x₁＜-1，0＜x₂＜1，下列结论
①抛物线开口向下，得：a＜0；
抛物线的对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$＜0，故b＜0；
抛物线交y轴于正半轴，得：c＞0；
所以abc＞0；故①正确；
②∵-2＜x₁＜-1，∴当x=-2时，y＜0，
∴4a-2b+c＜0，故②错误；
③∵与x轴交点的横坐标分别为x₁，x₂，其中-2＜x₁＜-1，0＜x₂＜1，
∴抛物线的对称轴为-1＜x=-$\frac{b}{2a}$＜0，
∴2a＞b，
∴2a-b＞0，故③正确；
④已知抛物线经过（-1，2），即a-b+c=2（1），由图知：当x=1时，y＜0，即a+b+c＜（2），
由①知：4a-2b+c＜0（3）；联立（1）（2），得：a+c＜1；联立（1）（3）得：2a-c＜-4；
∵c＜2，则有a＜-1，所以④正确；
⑤由于抛物线的对称轴大于-1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即：$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$＞2，由于a＜0，所以4ac-b²＜8a，即b²+8a＞4ac，故⑤正确，
故选：C．

点评 此题主要考查了抛物线与x轴的交点坐标性质，以及利用函数图象得出函数与坐标轴的近似值，进而得出函数解析式，这种题型是中考中新题型．