Question

5．如图，AC是?ABCD的一条对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）求证：△ADF≌△CBE；
（2）求证：四边形DFBE是平行四边形．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，得出内错角相等∠DAF=∠BCE，证出∠AFD=∠CEB=90°，由AAS证明△ADF≌△CBE即可；
（2）由（1）得：△ADF≌△CBE，由全等三角形的性质得出DF=BE，再由BE∥DF，即可得出四边形DFBE是平行四边形．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠DAF=∠BCE，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴BE∥DF，∠AFD=∠CEB=90°，
在△ADF和△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠BCE}&{\;}\\{∠AFD=∠CEB}&{\;}\\{AD=CB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴：△ADF≌△CBE（AAS）；
（2）解：如图所示：由（1）得：△ADF≌△CBE，
∴DF=BE，
∵BE∥DF，
∴四边形DFBE是平行四边形．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．