Question

9．如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，三角形ABC是等边三角形，A（0，3），B（-$\sqrt{3}$，0），C（$\sqrt{3}$，0），点F是AB中点，点E是AO上一动点
（1）如图1，当BE+EF的值最小时，请直接写出点E坐标为（0，1）；
（2）如图2，在（1）的条件下，连按CE，若动点P以每秒1个单位长度的速度沿折线C-E-A运动，设点P运动时间为t，三角形APC面积为S，则求S与t的关系式；
（3）在（2）的条件下，t取何值时，三角形AFP是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）因为C点是B点的对称点，连接CF交OA于E，此时BE+EF的值最小，根据等边三角形的性质求得
∠BCF=30°，得出CE=2OE，然后根据勾股定理即可求得OE=1，CE=2，从而求得E点的坐标；
（2）当P点在CE上时，作PG⊥OA于G，则PG∥OC，得出$\frac{PG}{OC}$=$\frac{EP}{EC}$，求得PG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2-t），根据三角形APC面积为S=S_△AEP-S_△AEP，即可得到S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t（0≤t≤2）；当P点在AE上时，根据三角形面积公式得到S=$\frac{1}{2}$AP×OC=$\frac{1}{2}$（4-t）×$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t（2＜t≤4）．
（3）分两种情况分别讨论求得即可．

解答 解：（1）如图1，连接CF，交OA于E，此时BE+EF的值最小，
∵点F是AB中点，
∴∠BCF=30°，
∴CE=2OE，
设OE=x，则EC=2x，
∵EC²=OE²+OC²，OC=$\sqrt{3}$，
∴（2x）²=x²+（$\sqrt{3}$）²，解得x=1，
∴OE=1，CE=2，
∴E（0，1）；
故答案为（0，1）；
（2）如图2，当P点在CE上时，作PG⊥OA于G，
∴PG∥OC，
∴$\frac{PG}{OC}$=$\frac{EP}{EC}$，
∵OC=$\sqrt{3}$，CE=2，CP=t，
∴$\frac{PG}{\sqrt{3}}$=$\frac{2-t}{2}$，
∴PG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2-t），
∵三角形APC面积为S=S_△AEP-S_△AEP，AE=3-1=2，
∴S=$\frac{1}{2}$AE•OC-$\frac{1}{2}$AE•PG=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2-t）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
即S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t（0≤t≤2）；
当P点在AE上时，S=$\frac{1}{2}$AP×OC=$\frac{1}{2}$（4-t）×$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
即S=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t+2$\sqrt{3}$（2＜t≤4）．
故S与t的关系式为：S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}t（0≤t≤2）}\\{-\frac{\sqrt{3}}{2}t+2\sqrt{3}（2＜t≤4）}\end{array}\right.$．
（3）如图3，①以A为圆心，以AF长为半径画弧，交OA于点P，则AP=AF，
∵A（0，3），B（-$\sqrt{3}$，0），
∴OA=3，OB=$\sqrt{3}$，
∴AB=2$\sqrt{3}$，
∴AF=$\sqrt{3}$，
∴AP=$\sqrt{3}$，
∴t=4-$\sqrt{3}$；
②以F为圆心，以AF长为半径画弧，交CE于点P₂，则PF=AF，
∵C（$\sqrt{3}$，0），E（0，1），
∴直线CE的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1，
设P（x，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1），
∵A（0，3），B（-$\sqrt{3}$，0），
∴F（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴PF²=（x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²+（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1-$\frac{3}{2}$）²=AF²=（$\sqrt{3}$）²，
即2x²+2$\sqrt{3}$x-3=0，
解得x=$\frac{-\sqrt{3}+3}{2}$，
∴P（$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$）．
∴t=3-$\sqrt{3}$，
∴在（2）的条件下，t=4-$\sqrt{3}$或3-$\sqrt{3}$时，三角形AFP是等腰三角形．

点评 本题是一次函数的综合题，考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理的应用，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等，分类讨论思想的运用是解题的关键．