Question

如图，在平行四边形ABCD中，AB=4a，E是BC的中点，BE=2a，∠BAD=120°，P是BD上的动点，则PE+PC的最小值为______．

Answer 1

∵E是BC的中点，BE=2a，
∴BC=2BE=2×2a=4a，
故BC=AC，
∴平行四边形ABCD为菱形．
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD是∠ABC的平分线．
作E关BD的对称点E′，
连接CE′，PE，
则PE=PE′，
此时，PE+PC=PE′+PC=CE′，
CE′即为PE+PC的最小值．
∵∠A=120°，
∴∠ABD=∠ADB=

180°-120°

2

=30°，
∴∠ABC=60°，
又∵BE′=BE，
∴△E′BE为正三角形，EE′=2a，∠ABE=60°，
故EE′=EC，
∠EE′C=∠ECE′=30°，
∴∠BE′C=60°+30°=90°，
在Rt△BCE′中，
CE′=

(4a)2-(2a)2

=2

3

a．