Question

9．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，CD是斜边AB上的高，点E为边AC上一点（点E不与点A、C重合），连接DE，作CF⊥DE，CF与边AB、线段DE分别交于点F，G；
（1）求线段CD、AD的长；
（2）设CE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用特殊角的三角函数可知sin∠B=$\frac{CD}{BC}$，tan∠A=$\frac{CD}{AD}$，由此求得线段CD、AD的长；
（2）证得△CDE∽△BFC，得出$\frac{CE}{BC}$=$\frac{CD}{BF}$，整理得出答案即可．

解答 解：（1）在Rt△BCD中，
BC=2，∠B=90°-∠A=60°，
sin∠B=$\frac{CD}{BC}$，
即CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2=$\sqrt{3}$，
同理tan∠A=$\frac{CD}{AD}$，
AD=$\frac{\sqrt{3}}{tan30°}$=3；
（2）∵∠CDE=∠BFC=90°-∠DCF，
∠ECD=∠B=60°，
∴△CDE∽△BFC，
∴$\frac{CE}{BC}=\frac{CD}{BF}$，
即$\frac{x}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{y+1}$，
∴$y=\frac{{2\sqrt{3}}}{x}-1$，（$\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤x＜2\sqrt{3}$）．

点评 此题考查相似的综合题，综合考查了特殊角的三角函数，相似三角形的判定与性质，注意分类讨论思想的渗透．