Question

已知关于x的一元二次方程x²+px+q+1=0的一个实数根为2．
（1）用含p的代数式表示q；
（2）求证：抛物线y=x²+px+q与x轴有两个交点；
（3）设抛物线y₁=x²+px+q的顶点为M，与y轴的交点为E，抛物线y₂=x²+px+q+1顶点为N，与y轴的交点为F，若四边形FEMN的面积等于2，求p的值．

Answer 1

解：（1）∵关于x的一元二次方程x²+px+q+1=0的一个实数根为 2，
∴2²+2p+q+1=0．…
整理，得 q=-2p-5． …

（2）∵△=p²-4（q+1）=p²+4（2p+5）=p²+8p+20=（p+4）²+4，
无论p取任何实数，都有（p+4）²≥0，
∴无论p取任何实数，都有 （p+4）²+4＞0．
∴△＞0． …
∴抛物线y=x²+px+q与x轴有两个交点．…

（3）∵抛物线与抛物线
的对称轴相同，都为直线，且开口大小相同，
抛物线可由抛物线
沿y轴方向向上平移一个单位得到，
（如图5所示，省略了x轴、y轴）
∴EF∥MN，EF=MN=1．
∴四边形FEMN是平行四边形． …
由题意得 ．
解得p=±4．…
分析：（1）把x=2代入方程x²+px+q+1=0中，可得出p、q的关系式；
（2）用判别式进行判断，同时，把（1）的关系式代入，利用配方法证明△＞0即可；
（3）由两抛物线的解析式可知，抛物线y₂可由抛物线y₁向上平移1个单位得到，利用平移的性质证明四边形FEMN为平行四边形，根据平行四边形的面积公式列方程求p的值．
点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是把二次函数与一元二次方程结合解题，形数结合，通过观察两抛物线解析式，得出平移的关系．