Question

如图，在△ABC中，∠A=60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点B作⊙O的切线，交CO的延长线于点D，CD交⊙O于点E．
（1）求证：BC=BD；
（2）若BC=3，求CD的长．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）连接BO、BE，可证明∠BDC=∠BCD=30°，从而得出结论；
（2）根据BD=BC，可得出BD=3，再由直角三角形的性质得出CD的长即可．

解答：解：连接BO、BE，
∵∠A=60°，
∴∠BOC=30°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=30°
∵CE是直径，
∴∠CBE=90°，
∴∠CEB=60°，
∴∠OBE=60°，
∵BD为⊙O切线，
∴∠OBD=90°，
∴∠DBE=∠EDB=30°，
∴∠BDC=∠BCD=30°，
∴BC=BD；

（2）∵BC=BD，BC=3，
∴BD=3，
∵∠BCD=30°，
∴tan30°=

BE

BC

，
∴BE=

3

，
∴CE=2

3

，OB=

3

，
∴OD=2

3

，
∴CD=OD+OC=3

3

．

点评：本题考查了切线的性质，解直角三角形以及勾股定理的综合运用，是重点内容，要熟练掌握．