Question

如图，抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），设抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线顶点D的坐标；
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设该抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
由抛物线与y轴交于点C（0，-3），可知c=-3．
即抛物线的解析式为y=ax²+bx-3把A（-1，0）、B（3，0）代入，
得
①×3+②得3a-3b-9+9a+3b-3=0，即12a=12，
解得a=1，b=-2．
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3；

（2）∵y=x²-2x-3
=（x²-2x+1）-4，
=（x-1）²-4，
∴顶点D的坐标为（1，-4）；

（3）连接AC，
易得：CD=，BC=3，BD=2，
∴CD²+DB²=BC²，
可知Rt△COA∽Rt△BCD，得符合条件的点为O（0，0）
过A作AP₁⊥AC交y轴正半轴于P₁，可知Rt△CAP₁∽Rt△COA∽Rt△BCD，
求得符合条件的点为．
过C作CP₂⊥AC交x轴正半轴于P₂，可知Rt△P₂CA∽Rt△COA∽Rt△BCD，
求得符合条件的点为P₂（9，0）．
∴符合条件的点有三个：（0，0），，P₂（9，0）．
分析：（1）利用待定系数法将A（-1，0）、B（3，0），C（0，-3），代入y=ax²+bx+c，求出二次函数解析式即可；
（2）利用配方法直接求出顶点坐标即可；
（3）根据相似三角形的判定方法分别得出即可．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的判定等知识，相似三角形与二次函数经常结合出综合题目，所以同学们学要对这些知识熟练地掌握才能正确的解答．