Question

18．如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，过O作AO的垂线交AB于D，求证：△OBD∽△CBO．

Answer 1

分析 由点O是△ABC的两条角平分线的交点，得到∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{2}∠$ACB，AO平分∠BAC，根据三角形的内角和得到∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，∠BAO=$\frac{1}{2}$∠BAC，于是得到∠BOC=180°-（∠1+∠2）=90°+$\frac{1}{2}$∠BAC=90°+∠BAO，根据AO⊥DO，得到∠AOD=90°，得到∠BDO=90°+∠BAO，求得∠BDO=∠BOC，于是得到结论．

解答 解：∵点O是△ABC的两条角平分线的交点，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{2}∠$ACB，AO平分∠BAC，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，∠BAO=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠1+∠2=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠BOC=180°-（∠1+∠2）=90°+$\frac{1}{2}$∠BAC=90°+∠BAO，
∵∠BDO=∠AOD+∠BAO，
∵AO⊥DO，
∴∠AOD=90°，
∴∠BDO=90°+∠BAO，
∴∠BDO=∠BOC，
∵∠1=∠3，
∴△OBD∽△CBO．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的内角和，三角形外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．