Question

10．解方程：$\frac{1}{\sqrt{x}（\sqrt{x}+2）}$+$\frac{1}{（\sqrt{x}+2）（\sqrt{x}+4）}$+…+$\frac{1}{（\sqrt{x}+8）（\sqrt{x}+10）}$=$\frac{5}{24}$．

Answer 1

分析 首先拆分$\frac{1}{\sqrt{x}（\sqrt{x}+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{\sqrt{x}}$-$\frac{1}{\sqrt{x}+2}$），$\frac{1}{（\sqrt{x}+2）（\sqrt{x}+4）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{\sqrt{x}+2}$-$\frac{1}{\sqrt{x}+4}$），…$\frac{1}{（\sqrt{x}+8）（\sqrt{x}+10）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{\sqrt{x}+8}$-$\frac{1}{\sqrt{x}+10}$），进一步代换求得答案即可．

解答 解：$\frac{1}{\sqrt{x}（\sqrt{x}+2）}$+$\frac{1}{（\sqrt{x}+2）（\sqrt{x}+4）}$+…+$\frac{1}{（\sqrt{x}+8）（\sqrt{x}+10）}$=$\frac{5}{24}$
$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{\sqrt{x}}$-$\frac{1}{\sqrt{x}+2}$+$\frac{1}{\sqrt{x}+2}$-$\frac{1}{\sqrt{x}+4}$+…+$\frac{1}{\sqrt{x}+8}$-$\frac{1}{\sqrt{x}+10}$=$\frac{5}{24}$
$\frac{1}{\sqrt{x}}$-$\frac{1}{\sqrt{x}+10}$=$\frac{5}{12}$
$\frac{10}{\sqrt{x}（\sqrt{x}+10）}$=$\frac{5}{12}$
$\sqrt{x}$（$\sqrt{x}+10$）=24
（$\sqrt{x}$+12）（$\sqrt{x}$-2）=0，
$\sqrt{x}$=-12（无解），$\sqrt{x}$=2，
x=4．

点评 此题考查二次根式的运用，根据算式的特点，利用二次根式拆分是解决问题的关键．