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【题目】如图,在ABC中,∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O,过点OEFABBCF,交ACE,过点OODBCD,下列四个结论:

①∠AOB90°+C

AE+BFEF

③当∠C90°时,EF分别是ACBC的中点;

④若ODaCE+CF2b,则SCEFab

其中正确的是(  )

A.①②B.③④C.①②④D.①③④

【答案】C

【解析】

根据角平分线的定义和三角形内角和定理判断①;根据角平分线的定义和平行线的性质判断②;根据三角形三边关系判断③;根据角平分线的性质判断④.

∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O

∴∠OBACBA,∠OABCAB

∴∠AOB180°﹣∠OBA﹣∠OAB

180°﹣CBACAB

180°﹣180°﹣∠C

90°+C,①正确;

EFAB

∴∠FOB=∠ABO,又∠ABO=∠FBO

∴∠FOB=∠FBO

FOFB

同理EOEA

AE+BFEF,②正确;

当∠C90°时,AE+BFEFCF+CE

EF不是ACBC的中点,③错误;

OHACH

∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O

∴点O在∠C的平分线上,

ODOH

SCEF×CF×OD×CE×OHab,④正确.

故选:C

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【题目】如图,ABCD,以点A为圆心,小于AC的长为半径作圆弧,分别交AB,ACE,F两点,再分别以E,F为圆心,以大于EF长为半径作圆弧,两条弧交于点G,作射线AGCD于点H,若∠C=120°,则∠AHD=(  )

A. 120° B. 30° C. 150° D. 60°

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【题目】饮水机接通电源就进入自动程序,若在水温为时,接通电源后,水温和时间的关系如图.开机加热时每分钟上升,加热到,饮水机关机停止加热,水温开始下降,下降时水温与开机后的时间成反比例关系.当水温降至,饮水机自动开机,重复上述自动程序.若上午开机,则时能否喝到超过的水?说明理由.

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【题目】已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)xm+1=0.

(1)求证:无论m取何值,原方程总有两个不相等的实数根

(2)x1x2是原方程的两根,且|x1x2|=2,求m的值.

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【题目】求证:相似三角形对应边上的中线之比等于相似比.

要求:①根据给出的△ABC及线段A'B′,A′(A′=A),以线段A′B′为一边,在给出的图形上用尺规作出△A'B′C′,使得△A'B′C′∽△ABC,不写作法,保留作图痕迹;

②在已有的图形上画出一组对应中线,并据此写出已知、求证和证明过程.

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【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(0,2).

(1)若点(﹣,0)也在该抛物线上,求a,b满足的关系式;

(2)若该抛物线上任意不同两点M(x1,y1),N(x2,y2)都满足:当x1<x2<0时,(x1﹣x2)(y1﹣y2)>0;当0<x1<x2时,(x1﹣x2)(y1﹣y2)<0.以原点O为心,OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B,C,且△ABC有一个内角为60°.

求抛物线的解析式;

若点P与点O关于点A对称,且O,M,N三点共线,求证:PA平分∠MPN.

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【题目】如图:一把直尺压住射线OB,另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P,小明说:射线OP就是∠BOA的角平分线.他这样做的依据是( )

A.角平分线上的点到这个角两边的距离相等

B.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上

C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等

D.以上均不正确

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【题目】已知:△ABC与△A'B'C在平面直角坐标系中的位置如图.

1)分别写出BB'的坐标:B______B______

2)若点Pab)是△ABC内部一点,则平移后△A'B'C内的对应点P′的坐标为______

3)求△ABC的面积.

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【题目】如图,O为菱形ABCD对角线的交点,M是射线CA上的一个动点(点M与点COA都不重合),过点AC分别向直线BM作垂线段,垂足分别为EF,连接OEOF

1)①依据题意补全图形;

②猜想OEOF的数量关系为_________________.

2)小东通过观察、实验发现点M在射线CA上运动时,(1)中的猜想始终成立.

小东把这个发现与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明(1)中猜想的几种想法:

想法1:由已知条件和菱形对角线互相平分,可以构造与OAE全等的三角形,从而得到相等的线段,再依据直角三角形斜边中线的性质,即可证明猜想;

想法2:由已知条件和菱形对角线互相垂直,能找到两组共斜边的直角三角形,例如其中的一组OABEAB,再依据直角三角形斜边中线的性质,菱形四边相等,可以构造一对以OEOF为对应边的全等三角形,即可证明猜想.

……

请你参考上面的想法,帮助小东证明(1)中的猜想(一种方法即可).

3)当∠ADC=120°时,请直接写出线段CFAEEF之间的数量关系是_________________

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