【题目】如图,O为菱形ABCD对角线的交点,M是射线CA上的一个动点(点M与点C、O、A都不重合),过点A、C分别向直线BM作垂线段,垂足分别为E、F,连接OE,OF.
(1)①依据题意补全图形;
②猜想OE与OF的数量关系为_________________.
(2)小东通过观察、实验发现点M在射线CA上运动时,(1)中的猜想始终成立.
小东把这个发现与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明(1)中猜想的几种想法:
想法1:由已知条件和菱形对角线互相平分,可以构造与△OAE全等的三角形,从而得到相等的线段,再依据直角三角形斜边中线的性质,即可证明猜想;
想法2:由已知条件和菱形对角线互相垂直,能找到两组共斜边的直角三角形,例如其中的一组△OAB和△EAB,再依据直角三角形斜边中线的性质,菱形四边相等,可以构造一对以OE和OF为对应边的全等三角形,即可证明猜想.
……
请你参考上面的想法,帮助小东证明(1)中的猜想(一种方法即可).
(3)当∠ADC=120°时,请直接写出线段CF,AE,EF之间的数量关系是_________________.
【答案】(1)①见解析;②OE=OF;(2)见解析;(3)EF=(CF+AE)
【解析】
(1)①由题意直接补全图形,②结论是OE=OF,
(2)方法1、先判断出△AOE≌△CON,再利用直角三角形的性质即可得出结论;
方法2、利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,即可得出结论;
(3)先判断出四边形OPBQ是菱形,再判断出∠EOF=∠POQ=120°,再借助直角三角形的性质即可得出结论.
解:(1)①补全的图形如图所示.
②OE=OF.
(2)法一:
证明:如图1,
延长EO交FC的延长线于点N,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AO=CO.
∵AE⊥BM,CF⊥BM,
∴AE∥CF.
∴∠AEO=∠CNO.
又∵∠AOE=∠CON,
∴△AOE≌△CON.
∴OE=ON=.
∵Rt△EFN中,O是斜边EN的中点,
∴OF=
∴OE=OF.
法二:
证明:如图2,
取线段AB,BC的中点P,Q,连接OP,PE,OQ,QF,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,AC⊥BD.
∵P,Q是AB,BC的中点,
∴OP=PB= ,OQ=QB=
∴OP=OQ.
同理,PE=QF.
∵OP=PB,PE=PB,
∴∠OPA=2∠OBA,∠EPA=2∠EBA.
∴∠OPA+∠EPA=2∠OBA+2∠EBA,即∠OPE=2∠OBE.
同理,∠OQF=2∠OCF.
∵AC⊥BD,CF⊥BM,
∴∠OBE+∠OMB=∠OCF+∠OMB=90°.
∴∠OBE=∠OCF.
∴∠OPE=∠OQF.
∴△OPE≌△OQF.
∴OE=OF.
(3)如图1,
由(2)方法一、得出△AOE≌△CON,
∴AE=CN,OE=ON,
由(2)知,OE=OF,∴OF=ON,
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠ABC=∠ADC=120°,
∴∠ABE+∠CBF=60°,
∵∠AOB=∠AEB=90°,
∴点A、E、B、O共圆,
∴∠AOE=∠ABE,
同理:∠COF=∠CBF,
∴∠NOF=∠NOC+∠COF=∠AOE+∠CBF=∠ABE+∠CBF=60°,
∵OF=ON,
∴△FON是等边三角形,
∴∠ONF=60°,
∴∠FEN=30°,
在Rt△EFN中,∠FEN=30°,
∴EF=
故答案为EF=(CF+AE)
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【题目】如图,在△ABC中,∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O,过点O作EF∥AB交BC于F,交AC于E,过点O作OD⊥BC于D,下列四个结论:
①∠AOB=90°+∠C;
②AE+BF=EF;
③当∠C=90°时,E,F分别是AC,BC的中点;
④若OD=a,CE+CF=2b,则S△CEF=ab.
其中正确的是( )
A.①②B.③④C.①②④D.①③④
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【题目】用硬纸板剪一个平行四边形ABCD,作出它的对角线的交点O,我们可以做如下操作:
用大头针把一根平放在平行四边形上的直细木条固定在点O处,并使细木条可以绕点O转动,拨动细木条,它可以停留在任意位置. 如果设细木条与一组对边AB,CD的交点分别为点E,F,则下列结论:①OE=OF;②AE=CF;③BE=DF;④△AOE≌△COF,其中一定成立的是_________________________(填写序号即可).
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【题目】如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,AD=4,BD=2,CD=8.
(1)求证:∠BAC=90°;
(2)P为BC边上一点,连接AP,若△ABP为等腰三角形,请求出BP的长.
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【题目】模型建立:如图1,等腰直角三角形中,,,直线经过点,过作于,过作于.
(1)求证:;
(2)模型应用:
①已知直线l1:与y轴交于点,将直线l1绕着点顺时针旋转45°至l2,如图2,求l2的函数解析式;
②如图3,长方形ABCO,为坐标原点,的坐标为(8,6),、分别在坐标轴上,是线段上动点,点是直线上的一点,若△APD是以点D为直角顶点的等腰Rt△,请直接写出点的坐标.
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