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【题目】如图,O为菱形ABCD对角线的交点,M是射线CA上的一个动点(点M与点COA都不重合),过点AC分别向直线BM作垂线段,垂足分别为EF,连接OEOF

1)①依据题意补全图形;

②猜想OEOF的数量关系为_________________.

2)小东通过观察、实验发现点M在射线CA上运动时,(1)中的猜想始终成立.

小东把这个发现与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明(1)中猜想的几种想法:

想法1:由已知条件和菱形对角线互相平分,可以构造与OAE全等的三角形,从而得到相等的线段,再依据直角三角形斜边中线的性质,即可证明猜想;

想法2:由已知条件和菱形对角线互相垂直,能找到两组共斜边的直角三角形,例如其中的一组OABEAB,再依据直角三角形斜边中线的性质,菱形四边相等,可以构造一对以OEOF为对应边的全等三角形,即可证明猜想.

……

请你参考上面的想法,帮助小东证明(1)中的猜想(一种方法即可).

3)当∠ADC=120°时,请直接写出线段CFAEEF之间的数量关系是_________________

【答案】1)①见解析;②OE=OF;(2)见解析;(3EF=CF+AE

【解析】

1)①由题意直接补全图形,②结论是OE=OF
2)方法1、先判断出△AOE≌△CON,再利用直角三角形的性质即可得出结论;
方法2、利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,即可得出结论;
3)先判断出四边形OPBQ是菱形,再判断出∠EOF=POQ=120°,再借助直角三角形的性质即可得出结论.

解:(1)①补全的图形如图所示.

OE=OF

2)法一:

证明:如图1

延长EOFC的延长线于点N

∵四边形ABCD是菱形,

AO=CO

AEBMCFBM

AECF

∴∠AEO=CNO

又∵∠AOE=CON

∴△AOE≌△CON

OE=ON=

RtEFN中,O是斜边EN的中点,

OF=

OE=OF

法二:

证明:如图2

取线段ABBC的中点PQ,连接OPPEOQQF

∵四边形ABCD是菱形,

AB=BCACBD

PQABBC的中点,

OP=PB= OQ=QB=

OP=OQ

同理,PE=QF

OP=PBPE=PB

∴∠OPA=2OBA,∠EPA=2EBA

∴∠OPA+EPA=2OBA+2EBA,即∠OPE=2OBE

同理,∠OQF=2OCF

ACBDCFBM

∴∠OBE+OMB=OCF+OMB=90°

∴∠OBE=OCF

∴∠OPE=OQF

∴△OPE≌△OQF

OE=OF

3)如图1

由(2)方法一、得出△AOE≌△CON

AE=CNOE=ON

由(2)知,OE=OF,∴OF=ON

∵四边形ABCD是菱形,

∴∠ABC=ADC=120°

∴∠ABE+CBF=60°

∵∠AOB=AEB=90°

∴点AEBO共圆,

∴∠AOE=ABE

同理:∠COF=CBF

∴∠NOF=NOC+COF=AOE+CBF=ABE+CBF=60°

OF=ON

∴△FON是等边三角形,

∴∠ONF=60°

∴∠FEN=30°

RtEFN中,∠FEN=30°

EF=FN=CF+CN=CF+AE).

故答案为EF=CF+AE

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AE+BFEF

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④若ODaCE+CF2b,则SCEFab

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