Question

8．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D是$\widehat{AB}$的中点，过点C作CD的垂线，与DB的延长线相交于点E，若AC=3，BC=4，则DE=$\frac{35\sqrt{2}}{6}$．

Answer 1

分析 设CD，AB相交于G，过G作GF⊥BC于F，由D是$\widehat{AB}$的中点，得到∠ACD=∠BCD，由于AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，求出∠BCD=45°，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，通过△BFG∽△ABC，得到$\frac{GF}{AC}=\frac{BF}{BC}$=$\frac{BG}{AB}$，求出GF=$\frac{12}{7}$，BG=$\frac{20}{7}$，CG=$\frac{12\sqrt{2}}{7}$，AG=$\frac{15}{7}$，由于△ACG∽△DBG，得到$\frac{AC}{BD}=\frac{AG}{DG}$，连接AD，则△ABD是等腰直角三角形，求得DG=$\frac{25\sqrt{2}}{14}$，得到CD=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，通过△ACB∽△CDE，得到$\frac{AC}{CD}=\frac{AB}{DE}$，代入数据即可得到结论．

解答 解：设CD，AB相交于G，过G作GF⊥BC于F，
∵D是$\widehat{AB}$的中点，
∴∠ACD=∠BCD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCD=45°，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∴CF=GF，
∴FG∥AC，
∴△BFG∽△ABC，
∴$\frac{GF}{AC}=\frac{BF}{BC}$=$\frac{BG}{AB}$，
即$\frac{GF}{3}=\frac{4-GF}{4}$=$\frac{BG}{5}$，
∴GF=$\frac{12}{7}$，BG=$\frac{20}{7}$，
∴CG=$\frac{12\sqrt{2}}{7}$，AG=$\frac{15}{7}$
∵∠A=∠D，∠ACG=∠ABD，
∴△ACG∽△DBG，
∴$\frac{AC}{BD}=\frac{AG}{DG}$，
连接AD，则△ABD是等腰直角三角形，
∴BD=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴DG=$\frac{25\sqrt{2}}{14}$，
∴CD=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，
∵CD⊥DE，
∴∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE，
∴△ACB∽△CDE，
∴$\frac{AC}{CD}=\frac{AB}{DE}$，
即$\frac{3}{\frac{7\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{5}{DE}$，
∴DE=$\frac{35\sqrt{2}}{6}$．
故答案为：$\frac{35\sqrt{2}}{6}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．