Question

如图，点I是△ABC的内心，AI交BC于D，交△ABC的外接圆于点E．

①求证：IE=BE；

②线段IE是哪两条线段的比例中项，试加以证明．

　

Answer 1

 ①证明：连接BI．

∵I是△ABC的内心，

∴∠1=∠2，∠3=∠4；

∵∠BIE=∠3+∠2，∠EBI=∠4+∠5，且∠5=∠1，

∴∠BIE=∠EBI；

∴IE=BE；

②解：考虑有公共边公共角的相似三角形及IE=BE，知：IE是DE和AE的比例中项．

证明如下：

∵∠5=∠1，∠1=∠2；

∴∠5=∠2；

又∵∠E=∠E，

∴△BED∽△AEB；

∴BE：DE=AE：BE；

∴BE²=AE•DE；

又∵IE=BE，

∴IE²=AE•DE．