Question

7．如图，在四边形ABCD中，AD=BC=4，AB=CD，BD=6，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动．
（1）试证明：AD∥BC．
（2）在移动过程中，小明发现当点G的运动速度取某个值时，有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，△DEG与△BFG全等．

Answer 1

分析 （1）由AD=BC=8，AB=CD，BD为公共边，所以可证得△ABD≌△CDB，所以可知∠ADB=∠CBD，所以AD∥BC；
（2）设运动时间为t，点G的运动速度为v，根据全等三角形的性质进行解答即可．

解答 （1）证明：在△ABD和△CDB中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{AB=CD}\\{BD=DB}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CDB，
∴∠ADB=∠CBD，
∴AD∥BC；
（2）解：设运动时间为t，点G的运动速度为v，
当0＜t≤$\frac{4}{3}$时，若△DEG≌△BFG，则$\left\{\begin{array}{l}DE=BF\\ DG=BG\end{array}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}t=4-3t\\ 6-BG=BG\end{array}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}t=1\\ BG=3\end{array}$，
∴v=3；
若△DEG≌△BGF，则$\left\{\begin{array}{l}DE=BG\\ DG=BF\end{array}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}t=BG\\ 6-BG=4-3t\end{array}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}t=-1\\ BG=-1\end{array}$ （舍去）；
当$\frac{4}{3}$＜t≤$\frac{8}{3}$时，若△DEG≌△BFG，则$\left\{\begin{array}{l}DE=BF\\ DG=BG\end{array}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}t=3t-4\\ 6-BG=BG\end{array}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}t=2\\ BG=3\end{array}$，
∴v=$\frac{3}{2}$；
若△DEG≌△BGF，则$\left\{\begin{array}{l}DE=BG\\ DG=BF\end{array}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}t=BG\\ 6-BG=3t-4\end{array}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}t=\frac{5}{2}\\ BG=\frac{5}{2}\end{array}$，
∴v=1．
综上，点G的速度为3或$\frac{3}{2}$或1．

点评 本题主要考查三角形全等的判定和性质，第（2）题解题的关键是利用好三角形全等解得．