Question

如图，菱形ABCD中，O为AC上一点，OA=AB，经过B、C、D三点的⊙O的半径为1，求cos∠AOB的值．

Answer 1

考点：菱形的性质,圆周角定理,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：首先设AB=x，由菱形ABCD中，经过B、C、D三点的⊙O的半径为1，易证得△OBC∽△BAC，继而可得BC²=OA•AC，得到方程x²=x（x+1），则可求得x的值，过点A作AE⊥OB于点E，由等腰三角形的三线合一，可求得OE的长，继而求得cos∠AOB的值．

解答：解：设AB=x，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=x，则OA=AB=x，
∴∠BAC=∠OCB，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠OBC=∠BAC，
∵∠OCB=∠BCA，
∴△OBC∽△BAC，
∴

BC

AC

=

OC

BC

，
∴BC²=OA•AC，
∵OC=1，
∴AC=OA+OC=x+1，
∴x²=x（x+1），
解得：x=

1+ 5

2

，
过点A作AE⊥OB于点E，
∴OE=

1

2

OB=

1

2

，
∴cos∠AOB=

OE

OA

=

1 2

1+ 5 2

=

5 -1

4

．

点评：此题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质以及三角函数的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．