Question

如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线AD交于点E，交BC的延长线于点F．试说明：△ABF∽△CAF．

Answer 1

考点：相似三角形的判定

专题：证明题

分析：如图，证明∠ACF=∠BAC，此为解题的关键性结论；结合∠AFC=∠AFB，即可解决问题．

解答：证明：如图，∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD（设为α）；
∵EF⊥AD，且EF平分AD，
∴AF=DF，∠ADF=∠DAF；
∵∠ACF=∠ADF+α，∠BAC=∠DAF+α，
∴∠ACF=∠BAC，
∵∠AFC=∠AFB，
∴△ABF∽△CAF．

点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质、角平分线的定义、线段垂直平分线的性质等几何知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握相似三角形的判定及其性质．