Question

11．在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且∠ADF+∠DEC=180°，∠AFE=∠BDE．
（1）如图1，当DE=DF时，图1中是否存在与AB相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，说明理由；
（2）如图2，当DE=kDF（其中0＜k＜1）时，若∠A=90°，AF=m，求BD的长（用含k，m的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）如图1，连结AE．先由DE=DF，得出∠DEF=∠DFE，由∠ADF+∠DEC=180°，得出∠ADF=∠DEB．由∠AFE=∠BDE，得出∠AFE+∠ADE=180°，那么A、D、E、F四点共圆，根据圆周角定理得出∠DAE=∠DFE=∠DEF，∠ADF=∠AEF．再由∠ADF=∠DEB=∠AEF，得出∠AEF+∠AED=∠DEB+∠AED，则∠AEB=∠DEF=∠BAE，根据等角对等边得出AB=BE；
（2）如图2，连结AE．由A、D、E、F四点共圆，得出∠ADF=∠AEF，由∠DAF=90°，得出∠DEF=90°，再证明∠DEB=∠AEF．又∠AFE=∠BDE，根据两角对应相等的两三角形相似得出△BDE∽△AFE，利用相似三角形对应边成比例得到$\frac{BD}{AF}$=$\frac{DE}{FE}$．在直角△DEF中，利用勾股定理求出EF=$\sqrt{D{F}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{1-{k}^{2}}$DF，然后将AF=m，DE=kDF代入，计算即可求解．

解答 解：（1）如图1，连结AE．
∵DE=DF，
∴∠DEF=∠DFE，
∵∠ADF+∠DEC=180°，
∴∠ADF=∠DEB．
∵∠AFE=∠BDE，
∴∠AFE+∠ADE=180°，
∴A、D、E、F四点共圆，
∴∠DAE=∠DFE=∠DEF，∠ADF=∠AEF．
∵∠ADF=∠DEB=∠AEF，
∴∠AEF+∠AED=∠DEB+∠AED，
∴∠AEB=∠DEF=∠DFE=∠BAE，
∴AB=BE；

（2）如图2，连结AE．
∵∠AFE=∠BDE，
∴∠AFE+∠ADE=180°，
∴A、D、E、F四点共圆，
∴∠ADF=∠AEF，
∵∠DAF=90°，
∴∠DEF=90°，
∵∠ADF+∠DEC=180°，
∴∠ADF=∠DEB．
∵∠ADF=∠AEF，
∴∠DEB=∠AEF．
在△BDE与△AFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEB=∠AEF}\\{∠BDE=∠AFE}\end{array}\right.$，
∴△BDE∽△AFE，
∴$\frac{BD}{AF}$=$\frac{DE}{FE}$．
在直角△DEF中，∵∠DEF=90°，DE=kDF，
∴EF=$\sqrt{D{F}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{1-{k}^{2}}$DF，
∴$\frac{BD}{m}$=$\frac{kDF}{\sqrt{1-{k}^{2}}DF}$=$\frac{k}{\sqrt{1-{k}^{2}}}$，
∴BD=$\frac{mk\sqrt{1-{k}^{2}}}{1-{k}^{2}}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，四点共圆，圆周角定理，勾股定理等知识，有一定难度．连结AE，证明A、D、E、F四点共圆是解题的关键．