【题目】如图,在等腰△ABC中,AC=BC,∠ACB=4∠B,点D是AC边的中点,DE⊥AC,交AB于点E,连接CE.
(1)求∠BCE的度数;
(2)求证:AB=3CE.
【答案】(1)90°;(2)证明见解析.
【解析】
(1)证明△ECD≌△EAD,可得∠A=∠ECD,设∠B=x,可得∠BEC=2x,得出x+2x+3x=180°,解得x=30°,则∠BCE可求出;
(2)由直角三角形的性质可得BE=2CE,AE=CE,则结论可得出.
解:(1)∵点D是AC边的中点,DE⊥AC,
∴∠EDC=∠EDA=90°,DC=DA.
∵ED=ED,
∴△ECD≌△EAD(SAS),
∴∠A=∠ECD,
∵AC=BC,
∴∠B=∠A.
设∠B=x,
∴∠BEC=∠A+∠ECA=2x.
∵∠ACB=4∠B,
∴∠BCE=3x.
∵∠B+∠BEC+∠BCE=180°,
∴x+2x+3x=180°,
解得:x=30°,
∴∠BCE=90°;
(2)∵∠B=30°,∠BCE=90°,
∴BE=2CE.
∵CE=AE,
∴AB=BE+AE=3CE.
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【题目】如图,在△ABC中,O为AC上一点以O为圆心,OC长为半径作圆,与BC相切于点C,过点A作AD⊥BO交BO延长线于点D,且∠AOD=∠BAD.
(1)求证:AB为⊙O的切线;
(2)若BC=6,tan∠ABC,求OD的长.
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【题目】已知:AB为⊙O直径,弦CD⊥AB,垂足为H,点E为⊙O上一点,,BE与CD交于点F.
(1)如图1,求证:BH=FH;
(2)如图2,过点F作FG⊥BE,分别交AC、AB于点G、N,连接EG,求证:EB=EG;
(3)如图3,在(2)的条件下,延长EG交⊙O于M,连接CM、BG,若ON=1,△CMG的面积为6,求线段BG的长.
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【题目】已知:直线y=x+3与x轴、y轴分别相于点A和点B,点C在线段AO上.
将△CBO沿BC折叠后,点O恰好落在AB边上点D处
(1)求直线BC的解析式;
(2)求点D的坐标;
(3)P为平面内一动点,且以A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形,直接写出点P坐标 .
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【题目】如图,抛物线经过点
,点
,交
轴于点
,连接
,
.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点为抛物线第二象限上一点,满足
,求点
的坐标;
(3)将直线绕点
顺时针旋转
,与抛物线交于另一点
,求点
的坐标.
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
(1)判断△ABC的形状;
(2)过点C的直线y交x轴于点H,若点P是第四象限内抛物线上的一个动点,且在对称轴的右侧,过点P作PQ∥y轴交直线CH于点Q,作PN∥x轴交对称轴于点N,以PQ、PN为邻边作矩形PQMN,当矩形PQMN的周长最大时,在y轴上有一动点K,x轴上有一动点T,一动点G从线段CP的中点R出发以每秒1个单位的速度沿R→K→T的路径运动到点T,再沿线段TB以每秒2个单位的速度运动到B点处停止运动,求动点G运动的最少时间及此时点T的坐标;
(3)如图2,将△ABC绕点B顺时针旋转至△A'BC'的位置,点A、C的对应点分别为A'、C',且点C'恰好落在抛物线的对称轴上,连接AC'.点E是y轴上的一个动点,连接AE、C'E,将△AC'E沿直线C'E翻折为△A″C'E,是否存在点A',使得△BAA″为等腰三角形?若存在,请求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知等腰△ABC中,AB=AC,∠FDE的顶点D在线段BC上,不与B、C重合.
(1)如图①,若DE∥AC,DF∥AB且点D在BC中点时,四边形AEDF是什么四边形并证明?
(2)将∠EDF绕点D旋转至如图②所示位置,若∠B=∠C=∠EDF=α,BD=m,CD=n,设△BDE的面积为S1,△CDF的面积为S2,求S1S2的值.(用含有m、n、α的代数式表示)
(3)将∠EDF绕点D旋转至如图③所示位置,连接EF,若∠B=∠C=∠EDF,且EF垂直平分AD,BD=m,CD=n,则的值为多少?(要有解答过程).
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【题目】如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=,点D、E分别在BC、AC上(点D不与点B、C重合),且∠ADE=45°,若△ADE是等腰三角形,则CE=_____.
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