Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）判断△ABC的形状；

（2）过点C的直线y交x轴于点H，若点P是第四象限内抛物线上的一个动点，且在对称轴的右侧，过点P作PQ∥y轴交直线CH于点Q，作PN∥x轴交对称轴于点N，以PQ、PN为邻边作矩形PQMN，当矩形PQMN的周长最大时，在y轴上有一动点K，x轴上有一动点T，一动点G从线段CP的中点R出发以每秒1个单位的速度沿R→K→T的路径运动到点T，再沿线段TB以每秒2个单位的速度运动到B点处停止运动，求动点G运动的最少时间及此时点T的坐标；

（3）如图2，将△ABC绕点B顺时针旋转至△A'BC'的位置，点A、C的对应点分别为A'、C'，且点C'恰好落在抛物线的对称轴上，连接AC'．点E是y轴上的一个动点，连接AE、C'E，将△AC'E沿直线C'E翻折为△A″C'E，是否存在点A'，使得△BAA″为等腰三角形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）△ABC是以AC为底的等腰三角形．理由见解析；（2）动点G运动的最少时间t=6秒，T（，0）；（3）E坐标为（0，3）或（0，6）或（0，3）或（0，12）．

【解析】

（1）结论：△ABC是以AC为底的等腰三角形，求出A，B，C的坐标，求出BC，BA即可判断．
（2）根据周长的定义，构建二次函数，求出周长最大时，点P（3，-3），因为R为线段CP的中点，推出R（，-3），作点R关于y轴对称点R′（，-3），此时R与N重合，由题意知：动点G运动的最少时间t=RK+KT+TB，过点R′作R′J⊥BS于J，交y轴于K，交x轴于T，则R′J即为所求，由TJ=TB，可得t=R′K+KT+TJ，再利用相似三角形的性质求出TM即可解决问题．
（3）分四种情形分别画出图形求解即可：①当AA'=A'B时，如图2中．②当AA'=AB时，如图3中，设A″C′交y轴于J．③当AA'=A'B时，如图4中，设AC′交y轴于M．④当A'B=AB时，如图5中．分别求出答案即可.

解：（1）△ABC是以AC为底的等腰三角形．理由如下：

由题意知抛物线y与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，

∴令x=0，解得：y；令x=0，解得：x1，x2=4；

∴A（，0），，；

∴AC2=AM2+MC230，

BC2=OB2+OC275，

AB2=（OA+OB）275，

∴AB=BC，

∴△ABC是以AC为底的等腰三角形．

（2）如图1中，过点C的直线y交x轴于点H，

令y=0，解得：x，

∴

设P（m，3），则Q（m，3）．

∵y，

∴抛物线对称轴为：直线x，

∴QP=（3）﹣（3），NP=m，

∴矩形PQMN的周长C矩形PQMN=2（QP+NP）=2（）；

∵0，开口向下，

∴当m=3时，C矩形PQMN最小，此时，P（3，﹣3）．

∵R为线段CP的中点，

∴R（，﹣3），作点R关于y轴对称点R'（，﹣3），此时R与N重合，

由题意知：动点G运动的最少时间t=RK+KTTB，

在y轴正半轴上取点S（0，4），连接直线BS，则直线BS解析式为：yx+4，

过点R'作R'J⊥BS于J，交y轴于K，交x轴于T，则R'J即为所求．

∵tan∠SBO，

∴∠SBO=30°，

∴TJTB

即t=R'K+KT+TJ．

∵RR'=3，∠RR'J=∠BTJ=60°，

∴△KRR'为等边三角形，∠RKR'=∠KRR'=60°，

∴∠KRM=∠KHR=30°，

∴R'J=2RR'=6；

即动点G运动的最少时间t=6（秒）；

∵△JMT∽△JRR'，

∴，即，

∴TM=33，

∴T（，0）；

（3）①当AA'=A'B时，如图2中，

此时，A'在对称轴上

对称性可知∠AC'E=∠A'C'E，

又∠HEC'=∠A'C'E，

∴∠AC'E=∠HEC'，

∴HE=HC'=5，

∴OE=HE﹣HO，

∴

②当AA'=AB时，如图3中，设A″C'交y轴于J．

此时AA'=AB=BC'=A'C'，

∴四边形A'ABC'为菱形

由对称性可知：∠AC'E=∠A'C'E=30°，

∴JE，

∴OE=OJ﹣JE=6，

∴E（0，6）；

③当AA'=A'B时，如图4中，设AC'交y轴于M．

此时，A'在对称轴上∠MC'E=75°

又∠AMO=∠EMC'=30°，

∴∠MEC'=75°，

∴ME=MC'，

∴MC'，

∴OE，

∴E（）；

④当A'B=AB时，如图5中，

此时AC'=A'C'=A'B=AB，

∴四边形AC'A'B为菱形

由对称性可知，C'，E，B共线，

∴OE，

∴E（0，12）．

综上所述可得：点E坐标为（0，3）或（0，6）或（0，3）或（0，12）．