【题目】已知:直线y=x+3与x轴、y轴分别相于点A和点B,点C在线段AO上.
将△CBO沿BC折叠后,点O恰好落在AB边上点D处
(1)求直线BC的解析式;
(2)求点D的坐标;
(3)P为平面内一动点,且以A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形,直接写出点P坐标 .
【答案】(1)y=2x+3;(2)(﹣,);(3)(﹣,3)或(,3)或(﹣,﹣3).
【解析】
(1)先求出OA,OB,再利用勾股定理即可求出AB=5,由折叠的性质得出DC=OC,DB=OB=3,∠BDC=∠BOC=90°,设OC=DC=x,则AC=4-x,由勾股定理得出方程,求出OC的长,得出点C的坐标,由待定系数法即可得出答案;
(2)作DM⊥OA于M,则DM∥OB,得出△ADM∽△ABO,得,求出AM=,DM=,得出OM=OA-AM=4-=,即可得出答案;
(3)分三种情况,利用平行四边形的性质,即可得出结论.
解:(1)∵直线,当x=0时,y=3;当y=0时,x=-4;
∴A(-4,0),B(0,3),
∴OA=4,OB=3,
∴在Rt△AOB中,AB==5,
由折叠的性质得:DC=OC,DB=OB=3,∠BDC=∠BOC=90°,
∴AD=AB-DB=5-3=2,∠ADC=90°,
设OC=DC=x,则AC=4-x,
在Rt△ACD中,由勾股定理得:22+x2=(4-x)2,
解得:x=,
∴OC=,
∴C(,0),
设直线BC的解析式为y=kx+b,
把点B(0,3)、C(,0)代入得:,
解得:,
∴直线BC的解析式为y=2x+3;
(2)由(1)得:AD=2,作DM⊥OA于M,如图所示:
则DM∥OB,
∴△ADM∽△ABO,
∴,即,
解得:AM=,DM=,
∴OM=OA-AM=4-=,
∴点D的坐标为;
(3)如图所示:
由(1)知,A(-4,0),B(0,3),C(,0),AC=4-=,
∵以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形,
①当AC为边时,BP∥AC,BP=AC=,
∴P(,3)或(,3);
②当AC为对角线时,点B向下平移3个单位,再向左平移个单位得到C,
∴点A向下平移3个单位,再向左平移个单位得到点P的坐标(-4-,0-3),
∴P(-,-3),
即:点P的坐标为(,3)或(,3)或(-,-3);
故答案为:(,3)或(,3)或(-,-3).
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【题目】如图,在Rt△ABC中∠BAC=90°,D,E分别是AB,BC的中点,F在CA的延长线上∠FDA=∠B,AC=6,AB=8,则四边形AEDF的周长为_____.
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【题目】已知函数是关于的二次函数,求:
求满足条件的值;
当抛物线开口向下时,请写出此时抛物线的顶点坐标;
为何值时,抛物线有最小值?最小值是多少?当为何值时,随的增大而增大?
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【题目】如图,⊙O 的内接四边形 ABCD 两组对边延长线分别交于点 E、F.
(1)若∠E=∠F,求证:∠ADC=∠ABC;
(2)若∠E=∠F=40°,求∠A 的度数;
(3)若∠E=30°,∠F=40°,求∠A 的度数.
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【题目】如图,已知矩形ABCD中,AB=4,AD=m,动点P从点D出发,在边DA上以每秒1个单位的速度向点A运动,连接CP,作点D关于直线PC的对称点E,设点P的运动时间为t(s).
(1)若m=6,求当P,E,B三点在同一直线上时对应的t的值.
(2)已知m满足:在动点P从点D到点A的整个运动过程中,有且只有一个时刻t,使点E到直线BC的距离等于3,求所有这样的m的取值范围.
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【题目】如图,点A,C,D,E在Rt△MON的边上,∠MON=90°,AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD,BH⊥ON于点H,DF⊥ON于点F,OM=12,OE=6,BH=3,DF=4,FN=8,图中阴影部分的面积为( )
A. 30 B. 50 C. 66 D. 80
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