Question

如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知正比例函数 y=x 与一次函数 y=﹣x+7 的图象交于点 A．

（1）求点 A 的坐标；

设 x 轴上有一点 P（a，0），过点 P 作 x 轴的垂线（垂线位于点 A 的右侧），分别交 y=x 和 y=﹣x+7

的图象于点 B、C，连接 OC．若 BC=   OA，求^△OBC 的面积．

Answer 1

【考点】两条直线相交或平行问题；勾股定理．

【分析】（1）联立两一次函数的解析式求出 x、y 的值即可得出 A 点坐标；

过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为 D，在 Rt^△OAD 中根据勾股定理求出 OA 的长，故可得出 BC 的长， 根据 P（a，0）可用 a 表示出 B、C 的坐标，故可得出 a 的值，由三角形的面积公式即可得出结论．

【解答】解：（1）^∵由题意得，            ，解得，

^∴A（4，3）；

过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为 D，在 Rt^△OAD 中，由勾股定理得，

OA= = =5．

^∴BC= OA= ×5=7．

^∵P（a，0），

^∴B（a，a），C（a，﹣a+7），

^∴BC= a﹣（﹣a+7）= a﹣7，

^∴ a﹣7=7，解得 a=8，

^∴S△OBC^{=   BC•OP=   ×7×8=28．}

【点评】本题考查的是两条直线相交或平行问题，根据题意作出辅助线．构造出直角三角形是解答 此题的关键．