Question

如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠PAC=60°，直径AC=4，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

（1）证明：连接AN，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ANC=90°，
∴∠NAC+∠NCA=90°，
∵AB=AC，AN⊥BC，
∴∠BAN=∠CAN，
∵∠CAB=2∠BCP，
∴2∠CAN=2∠BCP，
∴∠CAN=∠BCP，
∴∠BCP+∠ACB=90°，
即∠ACP=90°，
∴AC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；

（2）连接ON，
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵ON=OC，
∴△ONC是等边三角形，
∴∠NOC=60°，
∴OC=NC=AC=×4=2 ，
过点O作OE⊥NC于E，
∵sin∠ACB=，
∴sin60°=，
∴OE=2×=3，
∵S_△ONC=NC•OE=×2×3=3，S_扇形==2π，
∴S_阴影=S_扇形-S_△ONC=2π-3．
分析：（1）首先连接AN，由以AC为直径的⊙O，可得∠ANC=90°，又由AB=AC，AN⊥BC，可求得∠CAN=∠BCP，继而证得∠ACP=90°，即可判定PC是⊙O的切线；
（2）连接ON，由AB=AC，∠BAC=60°，可得△ABC是等边三角形，然后分别求得△OCN与扇形CON的面积，即可求得答案．
点评：此题考查了切线的判定、扇形的面积以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．