Question

20．如图，?ABCD中，AC⊥AB，AB=3cm，BC=5cm，点E为AB上一点，且AE=$\frac{1}{3}$AB．点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA运动至A点停止．则当运动时间为$\frac{5}{3}$，2，$\frac{12}{5}$，$\frac{{68-2\sqrt{21}}}{5}$秒时，△BEP为等腰三角形．

Answer 1

分析 首先利用勾股定理求出AC，当P在BC上时，①BP=EB=2，②BP=PE，作PM⊥AB于M，根据cosB求出BP，③BE=PE=2cm，作EN⊥BC于N，根据cosB求出BN；当P在CD上不能得出等腰三角形；当P在AD上时，过P作PQ⊥BA于Q，证△QAP∽△ABC，推出PQ：AQ：AP=4：3：5，设PQ=4xcm，AQ=3xcm，在△EPN中，由勾股定理得出方程（3x+1）²+（4x）²=2²，求出方程的解即可．

解答 解：∵∠BAC=90°，BC=5cm，AB=3cm，′
由勾股定理得：AC=4cm，
即AB、CD间的最短距离是4cm，
∵AB=3cm，AE=$\frac{1}{3}$AB，
∴AE=1cm，BE=2cm，
设经过ts时，△BEP是等腰三角形，
当P在BC上时，
①BP=EB=2cm，
t=2s时，△BEP是等腰三角形；
②BP=PE，
作PM⊥AB于M，
∴BM=ME=$\frac{1}{2}$BE=1cm
∵cos∠ABC=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BM}{BP}$=$\frac{3}{5}$，
∴BP=$\frac{5}{3}$cm，
t=$\frac{5}{3}$时，△BEP是等腰三角形；
③BE=PE=2cm，
作EN⊥BC于N，则BP=2BN，
∴cosB=$\frac{BN}{BE}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{BN}{2}$=$\frac{3}{5}$，
∴BN=$\frac{6}{5}$cm，
∴BP=$\frac{12}{5}$，
∴t=$\frac{12}{5}$时，△BEP是等腰三角形；
当P在CD上不能得出等腰三角形，
∵AB、CD间的最短距离是4cm，CA⊥AB，CA=4cm，
当P在AD上时，只能BE=EP=2cm，
过P作PQ⊥BA于Q，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠QAD=∠ABC，
∵∠BAC=∠Q=90°，
∴△QAP∽△ABC，
∴PQ：AQ：AP=4：3：5，
设PQ=4xcm，AQ=3xcm，
在△EPQ中，由勾股定理得：（3x+1）²+（4x）²=2²，
∴x=$\frac{2\sqrt{21}-3}{25}$，
AP=5x=$\frac{2\sqrt{21}-3}{5}$cm，
∴t=5+5+3-$\frac{2\sqrt{21}-3}{5}$=$\frac{68-2\sqrt{21}}{5}$，
答：从运动开始经过2s或$\frac{5}{3}$s或$\frac{12}{5}$s或$\frac{68-2\sqrt{21}}{5}$，s时，△BEP为等腰三角形．
故答案为：$\frac{5}{3}$，2，$\frac{12}{5}$，$\frac{{68-2\sqrt{21}}}{5}$．

点评 本题主要考查对平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定．全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．