【题目】在中,,,以点为圆心、为半径作圆,设点为⊙上一点,线段绕着点顺时针旋转,得到线段,连接、.
(1)在图中,补全图形,并证明 .
(2)连接,若与⊙相切,则的度数为 .
(3)连接,则的最小值为 ;的最大值为 .
【答案】(1)证明见解析;(2)或 ;(3)
【解析】
(1)根据题意,作出图像,然后利用SAS证明,即可得到结论;
(2)根据题意,由与⊙相切,得到∠BMN=90°,结合点M的位置,即可求出的度数;
(3)根据题意,当点N恰好落在线段AB上时,BN的值最小;当点N落在BA延长线上时,BN的值最大,分别求出BN的值,即可得到答案.
解:(1)如图,补全图形,
证明:
,
∵,
,
;
(2)根据题意,连接MN,
∵与⊙相切,
∴∠BMN=90°,
∵△MNC是等腰直角三角形,
∴∠CMN=45°,
如上图所示,∠BMC=;
如上图所示,∠BMC=;
综合上述,的度数为:或;
故答案为:或;
(3)根据题意,当点N恰好落在线段AB上时,BN的值最小;如图所示,
∵AN=BM=1,
∵,
∴;
当点N落在BA延长线上时,BN的值最大,如图所示,
由AN=BN=1,
∴BN=BA+AN=2+1=3;
∴的最小值为1;的最大值为3;
故答案为:1,3.
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【题目】如图,边长为2的正方形ABCD,点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿A﹣D﹣C的路径向点C运动,同时点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿B﹣C﹣D﹣A的路径向点A运动,当Q到达终点时,P停止移动,设△PQC的面积为S,运动时间为t秒,则能大致反映S与t的函数关系的图象是( )
A.B.
C.D.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+mx+n经过点A(3,0)、
B(0,-3),点P是直线AB上的动点,过点P作x轴的垂线交抛物线于点M,设点P的横
坐标为t.
(1)分别求出直线AB和这条抛物线的解析式.
(2)若点P在第四象限,连接AM、BM,当线段PM最长时,求△ABM的面积.
(3)是否存在这样的点P,使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】二次函数的部分图象如图所示,其中图象与轴交于点,与轴交于点,且经过点.
求此二次函数的解析式;
将此二次函数的解析式写成的形式,并直接写出顶点坐标以及它与轴的另一个交点的坐标.
利用以上信息解答下列问题:若关于的一元二次方程(为实数)在的范围内有解,则的取值范围是________.
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【题目】已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示:
... | ... | ||||||
... | ... |
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象;
(3
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【题目】教材呈现:下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容.
猜想
如图,在△ABC中,点D、E分别是AB与AC的中点,根据画出的图形,可以猜想:
DE∥BC,且DE=BC.
对此,我们可以用演绎推理给出证明
证明在△ABC中,
∵点D、E分别是AB与AC的中点,
∴请根据教材提示,结合图①,写出完整证明过程,
结论应用:
如图②在四边形ABCD中,AD=BC,点P是对角线BD的中点,M是DC中点,N是AB中点,MN与BD相交于点Q.
(1)求证:∠PMN=∠PNM;
(2)若AD=BC=4,∠ADB=90°,∠DBC=30°,则PQ= .
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点,y是关于的二次函数,抛物线经过点.抛物线经过点抛物线经过点抛物线经过点则下列判断:
①四条抛物线的开口方向均向下;
②当时,四条抛物线表达式中的均随的增大而增大;
③抛物线的顶点在抛物线顶点的上方;
④抛物线与轴交点在点的上方.
其中正确的是
A.①②④B.①③④
C.①②③D.②③④
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【题目】已知在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于点A、B(点A在点B的左侧),且AB=6.
(1)求这条抛物线的对称轴及表达式;
(2)在y轴上取点E(0,2),点F为第一象限内抛物线上一点,联结BF、EF,如果,求点F的坐标;
(3)在第(2)小题的条件下,点F在抛物线对称轴右侧,点P在轴上且在点B左侧,如果直线PF与y轴的夹角等于∠EBF,求点P的坐标.
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【题目】如图,学校旗杆的下方有一块圆形草坪,草坪的外面围着“圆环”水池,草坪和水池的外边缘是两个同心圆,旗杆在圆心O的位置且与地面垂直.
(1)若草坪的面积与圆环水池的面积之比为1∶4,求两个同心圆的半径之比.
(2)如图,若水池外面通往草坪有一座10米长的小桥BC,小桥所在的直线经过圆心O,上午8:00时太阳光线与地面成30°角,旗杆顶端的影子恰好落在水池的外缘;上午9:00时太阳光线与地面成45°角,旗杆顶端的影子恰好落在草坪的外缘,求旗杆的高OA长.
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