Question

【题目】教材呈现：下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容.

猜想

如图，在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，根据画出的图形，可以猜想：

DE∥BC，且DE＝BC．

对此，我们可以用演绎推理给出证明

证明在△ABC中，

∵点D、E分别是AB与AC的中点，

∴请根据教材提示，结合图①，写出完整证明过程，

结论应用：

如图②在四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，M是DC中点，N是AB中点，MN与BD相交于点Q．

（1）求证：∠PMN＝∠PNM；

（2）若AD＝BC＝4，∠ADB＝90°，∠DBC＝30°，则PQ＝　 　．

Answer 1

【答案】教材呈现：证明见解析；结论应用：（1）证明见解析；（2）．

【解析】

教材呈现：先判断出△ADE∽△ABC，即可得出绪论；

结论应用：（1）根据教材呈现中的续签，得出PM＝BC，PN＝AD，再利用BC＝AD，即可得出绪论；

（2）先根据（1）的结论判断出∠MPN＝120°，进而求得∠PMN＝∠PNM＝30°，∠EPQ＝30°，再利用三角函数求解即可得出结论.

教材呈现：

在△ABC中，

∵点D、E分别是AB与AC的中点，

∴，

∵∠A＝∠A，

∴△ADE∽△ABC，

∴DE∥BC，，

即：DE∥BC，DE＝BC，

结论应用：

（1）证明：∵点P，M分别是BD，DC的中点，

∴PM＝BC，

∵点P，N分别是BD，AB的中点，

∴PN＝AD，

∵BC＝AD，

∴PM＝PN，

∴∠PMN＝∠PNM；

（2）解：

∵点P，M分别是BD，DC的中点，

∴PM∥BC，

∴∠DPM＝∠DBC＝30°

∵点P，N分别是BD，AB的中点，

∴PN∥AD，

∴PN＝AD＝2，∠DPN＝180°﹣∠ADB＝90°，

∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝120°，

由（1）知，∠PMN＝∠PNM，

∴∠PMN＝∠PNM＝30°，

过点P作PE⊥MN于E，如图：

∴∠NPE＝90°﹣∠PNM＝60°，

∴∠EPQ＝∠DPN﹣∠NPE＝30°，

在中，∴∠PNE＝30°，PN＝2，

∴PE＝PN＝1，

在中，，

故答案为：．