Question

【题目】在平面直角坐标系中，存在抛物线以及两点和.

(1)求该抛物线的顶点坐标;

(2)若该抛物线经过点，求此抛物线的表达式;

(3)若该抛物线与线段只有一个公共点，结合图象，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（0,2）；（2）；（3）m=2或.

【解析】

（1）是顶点式，可得到结论；
（2）把A点坐标代入得方程，于是得到结论；
（3）分两种情况：当抛物线开口向上或向下时，分别画出图形，找到临界位置关系，求出m的值，再进行分析变化趋势可得到结论．

（1）是顶点式，顶点坐标为；

（2）∵抛物线经过点，
∴m=9m +2，
解得： ，

∴

(3)如图1，当抛物线开口向上时，抛物线顶点在线段上时， ；

当m>2时，直线x=1交抛物线于点（1，m+2）,交点位于点B上方，所以此时线段与抛物线一定有两个交点，不符合题意；

如图2，当抛物线开口向下时，抛物线顶过点时， ；

直线x=-3交抛物线于点（-3，9m+2）,当时，9m+2<m，交点位于点A下方，直线x=1交抛物线于点（1，m+2）,交点位于点B上方，所以此时线段与抛物线一定有且只有一个交点，符合题意；

综上所述，当或 时，抛物线与线段只有一个公共点.