Question

【题目】四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O．

（1）如图1，点P是正方形ABCD外一点，连接OP，以OP为一边，作正方形OPMN，且边ON与边BC相交，连接AP，BN．

①依题意补全图1；

②判断AP与BN的数量关系及位置关系，写出结论并加以证明；

（2）点P在AB延长线上，且∠APO=30°，连接OP，以OP为一边，作正方形OPMN，且边ON与BC的延长线恰交于点N，连接CM，若AB=2，求CM的长（不必写出计算结果，简述求CM长的过程）

Answer 1

【答案】（1）①图形见解析②AP=BN，AP⊥BN（2）见解析

【解析】分析：(1)、①根据题意作出图形即可；②结论：AP=BN，AP⊥BN，只要证明△APO≌△BNO即可；(2)、在RT△CMS中，求出SM，SC即可解决问题．

详解：(1)、解：①补全图形如图1所示，

②结论：AP=BN，AP⊥BN．

理由：延长NB交AP于H，交OP于K． ∵四边形ABCD是正方形， ∴OA=OB，AO⊥BO，

∴∠1+∠2=90°， ∵四边形OPMN是正方形， ∴OP=ON，∠PON=90°， ∴∠2+∠3=90°，

∴∠1=∠3， 在△APO和△BNO中，， ∴△APO≌△BNO， ∴AP=BN，∴∠4=∠5，

在△OKN中，∠5+∠6=90°， ∵∠7=∠6， ∴∠4+∠7=90°， ∴∠PHK=90°， ∴AP⊥BN．

(2)、解：解题思路如下：

a．首先证明△APO≌△BNO，AP=BN，∠OPA=ONB．

b．作OT⊥AB于T，MS⊥BC于S，由题意可知AT=TB=1，

c．由∠APO=30°，可得PT= ，BN=AP= +1，可得∠POT=∠MNS=60°．

d．由∠POT=∠MNS=60°，OP=MN，

可证，△OTP≌△NSM， ∴PT=MS= ， ∴CN=BN﹣BC= ﹣1，

∴SC=SN﹣CN=2﹣ ， 在RT△MSC中，CM2=MS2+SC2 ， ∴MC的长可求．