Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-2，-4），OB=2，抛物线y=ax²+bx+c经过点A、O、B三点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点M是抛物线对称轴上一点，试求AM+OM的最小值；
（3）在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把A、B、O的坐标代入得到方程组，求出方程组的解即可；
（2）根据对称轴求出O、B关于对称轴对称，根据勾股定理求出AB即可；
（3）①若OB∥AP，根据点A与点P关于直线x=1对称，由A（-2，-4），得出P的坐标；②若OA∥BP，设直线OA的表达式为y=kx，设直线BP的表达式为y=2x+m，由B（2，0）求出直线BP的表达式为y=2x-4，得到方程组，求出方程组的解即可；③若AB∥OP，设直线AB的表达式为y=kx+m，求出直线AB，得到方程组求出方程组的解即可；

解答：解：（1）由OB=2，可知B（2，0），
将A（-2，-4），B（2，0），O（0，0）三点坐标代入抛物线y=ax²+bx+c，
得

-4=4a-2b+c 0=4a+2b+c 0=c

解得：a=-

1

2

，b=1，c=0
∴抛物线的函数表达式为y=-

1

2

x2+x．
答：抛物线的函数表达式为y=-

1

2

x2+x．

（2）由y=-

1

2

x2+x=-

1

2

(x-1)2+

1

2

，
可得，抛物线的对称轴为直线x=1，
且对称轴x=1是线段OB的垂直平分线，
连接AB交直线x=1于点M，M点即为所求．
∴MO=MB，则MO+MA=MA+MB=AB
作AC⊥x轴，垂足为C，则AC=4，BC=4，∴AB=4

2

∴MO+MA的最小值为4

2

．
答：MO+MA的最小值为4

2

．

（3）①若OB∥AP，此时点A与点P关于直线x=1对称，
由A（-2，-4），得P（4，-4），则得梯形OAPB．
②若OA∥BP，
设直线OA的表达式为y=kx，由A（-2，-4）得，y=2x．
设直线BP的表达式为y=2x+m，由B（2，0）得，0=4+m，即m=-4，
∴直线BP的表达式为y=2x-4
由

y=2x-4 y=- 1 2 x2+x

，解得x₁=-4，x₂=2（不合题意，舍去）
当x=-4时，y=-12，∴点P（-4，-12），则得梯形OAPB．
③若AB∥OP，
设直线AB的表达式为y=kx+m，则

-4=-2k+m 0=2k+m

，
解得

k=1 m=-2

，∴AB的表达式为y=x-2．
∵AB∥OP，
∴直线OP的表达式为y=x．
由

y=x y=- 1 2 x2+x

，得 x²=0，解得x=0，
（不合题意，舍去），此时点P不存在．
综上所述，存在两点P（4，-4）或P（-4，-12）
使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形．
答：在此抛物线上，存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形，点P的坐标是（4，-4）或（-4，-12）．

点评：本题主要考查对梯形，解二元二次方程组，解一元二次方程，二次函数的性质，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行计算是解此题的关键．