【题目】如图,四边形ABCD内接于圆O,∠BAD=90°,AC为直径,过点A作圆O的切线交CB的延长线于点E,过AC的三等分点F(靠近点C)作CE的平行线交AB于点G,连结CG.
(1)求证:AB=CD;
(2)求证:CD2=BEBC;
(3)当CG=,BE=
时,求CD的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3).
【解析】试题分析:(1)根据三个角是直角的四边形是矩形证明四边形ABCD是矩形,可得结论;
(2)证明△ABE∽△CBA,列比例式可得结论;
(3)根据F是AC的三等分点得:AG=2BG,设BG=x,则AG=2x,代入(2)的结论解出x的值,可得CD的长.
试题解析:证明:(1)∵AC为⊙O的直径,∴∠ABC=∠ADC=90°,∵∠BAD=90°,∴四边形ABCD是矩形,∴AB=CD;
(2)∵AE为⊙O的切线,∴AE⊥AC,∴∠EAB+∠BAC=90°,∵∠BAC+∠ACB=90°,∴∠EAB=∠ACB,∵∠ABC=90°,∴△ABE∽△CBA,∴,∴AB2=BEBC,由(1)知:AB=CD,∴CD2=BEBC;
(3)∵F是AC的三等分点,∴AF=2FC,∵FG∥BE,∴△AFG∽△ACB,∴ =2,设BG=x,则AG=2x,∴AB=3x,在Rt△BCG中,CG=
,∴BC2=(
)2﹣x2,BC=
,由(2)得:AB2=BEBC,(3x)2=
,4x4+x2﹣3=0,(x2+1)(4x2﹣3)=0,x=±
,∵x>0,∴x=
,∴CD=AB=3x=
.
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【题目】如图,菱形ABCD中,E是AD的中点,EF⊥AC交CB的延长线于点F.
(1)DE和BF相等吗?请说明理由.
(2)连接AF、BE,四边形AFBE是平行四边形吗?说明理由.
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【题目】如图,在边长为4的菱形ABCD中,BD=4,E、F分别是AD、CD上的动点(包含端点),且AE+CF=4,连接BE、EF、FB.
(1)试探究BE与BF的数量关系,并证明你的结论;
(2)求EF的最大值与最小值.
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【题目】如图,直角坐标系中,△ABC的顶点都在网格点上,其中,C点坐标为(1,2).
(1)写出点A、B的坐标:
(2)将△ABC先向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到△A′B′C′,画出△A′B′C′;
(3)若AB边上有一点M(a,b),平移后对应的点M′的坐标为:
(4)求△ABC的面积.
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