Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与⊙O相切于点D，弦DF⊥AB于点E，线段CD=10，连接BD；
（1）求证：∠CDE=∠DOC=2∠B；
（2）若BD：AB=

3

：2，求⊙O的半径及DF的长．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）根据弦切角定理得∠CDE=∠COD，再由同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得∠CDE=∠COD=2∠B；
（2）连接AD，根据三角函数求得∠B=30°，则∠EOD=60°，推得∠C=30°，根据∠C的正切值，求出圆的半径，再在Rt△CDE中，利用∠C的正弦值，求得DE，从而得出DF的长．

解答：（1）证明：∵直线CD与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CD，∠CDO=90°，
∴∠CDE+∠ODE=90°．
又∵DF⊥AB，
∴∠DEO=∠DEC=90°．
∴∠COD+∠ODE=90°，
∴∠CDE=∠COD．
又∵∠EOD=2∠B，
∴∠CDE=∠DOC=2∠B．

（2）解：连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵BD：AB=

3

：2，
∴在Rt△ADB中cosB=

BD

AB

=

3

2

，
∴∠B=30°．
∴∠AOD=2∠B=60°．
又∵∠CDO=90°，
∴∠C=30°．
在Rt△CDO中，CD=10，
∴OD=10tan30°=

10

3

3

，
即⊙O的半径为

10

3

3

．
在Rt△CDE中，CD=10，∠C=30°，
∴DE=CDsin30°=5．
∵DF⊥AB于点E，
∴DE=EF=

1

2

DF．
∴DF=2DE=10．

点评：本题考查的是切割线定理，切线的性质定理，勾股定理，熟练掌握和正确运用定理是解题的关键．